力と運動の問題

水平でまっすぐな線路の上を、電車が右向きに一定の加速度の大きさ $a$ で加速している。電車の天井から、軽くて伸びない糸で質量 $m$ の小球をつるしたところ、小球は電車に対して静止し、糸は鉛直から傾いた状態になった。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。このときの糸の張力の大きさを、$m$, $g$, $a$ を用いて表せ。

水平でまっすぐなレールの上を、電車が右向きに一定の加速度の大きさ $a$ で加速しながら走っている。電車の床は水平で、天井の点 $\mathrm{P}$ は床から高さ $h$ のところにあり、床の上の点 $\mathrm{Q}$ は $\mathrm{P}$ の真下にある。$\mathrm{P}$ に小球をつけておき、ある瞬間に静かにはなした（はなした瞬間、小球は電車に対して静止している）。小球が床に落ちた点と $\mathrm{Q}$ との距離を、$a$, $h$ と重力加速度の大きさ $g$ を用いて表せ。ただし、空気抵抗は無視し、小球は落ちるまでに電車の壁にはぶつからないものとする。

なめらかで水平な床の上に、質量 $M$ の台が置かれている。台の上面は水平で、右側の側面は鉛直である。台の上面の右端には軽くてなめらかに回る滑車が取り付けてある。台の上面に質量 $m$ の物体 A を置き、A に軽くて伸びない糸をつけ、糸を水平に張って滑車にかけ、糸の他端に質量 $2m$ の物体 B をつるした。B は台の右側の側面に接している。台の左側の側面を水平右向きに一定の大きさ $F$ の力で押し続けたところ、A と B は台に対して静止したまま、全体が右向きに等加速度運動をした。$F$ を、$M$, $m$ と重力加速度の大きさ $g$ を用いて表せ。ただし、A と台の上面、B と台の側面の間には摩擦はなく、滑車と A の間の糸は水平、滑車と B の間の糸は鉛直であるとする。

なめらかで水平な床の上に、質量 $M$ の三角台が置かれている。三角台の斜面はなめらかで、水平面と $30^{\circ }$ の角をなし、右下がりになっている。斜面上に質量 $m$ の小物体を置き、小物体と三角台を同時に静かにはなしたところ、小物体は斜面をすべり下り、三角台は床の上を左向きにすべった。小物体が斜面上をすべっている間に、小物体が斜面から受ける垂直抗力の大きさを、$M$, $m$ と重力加速度の大きさ $g$ を用いて表せ。ただし、三角台は回転せず、床から浮き上がらないものとする。また、空気抵抗は無視する。

水平であらい机の上に質量 $M$ の物体 A を置く。A に軽くて伸びない糸の一端をつけ、糸を水平に机の右端まで張り、机の右端に固定した軽い定滑車にかける。糸はそこから鉛直下向きにのび、軽い動滑車の下を通って鉛直上向きにのび、他端を天井の点 Q に固定する。動滑車には質量 $m$ の物体 B をつるす。動滑車の両側の糸はどちらも鉛直であり、A と定滑車の間の糸は水平である。

A と机の間の動摩擦係数を $\mu$、重力加速度の大きさを $g$ とする。滑車はなめらかに回り、滑車の質量、糸の質量、空気抵抗は無視する。また $m>2\mu M$ とする。

はじめ全体を静止させておき、静かに手をはなすと、A は右向きに、B は鉛直下向きに動き出した。A が机の上をすべっている間の糸の張力の大きさを、$M$, $m$, $\mu$, $g$ を用いて表せ。