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力と運動の問題

難易度 1教科書の例題レベル高校物理力と運動

水平でまっすぐな線路の上を、電車が右向きに一定の加速度の大きさ $a$ で加速している。電車の天井から、軽くて伸びない糸で質量 $m$ の小球をつるしたところ、小球は電車に対して静止し、糸は鉛直から傾いた状態になった。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。このときの糸の張力の大きさを、 $m$ , $g$ , $a$ を用いて表せ。

m

a

電車は右向きに加速している（図は正確とは限りません）

この問題で使うもの

見かけの重力（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（43 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

電車内の観測者から見て、重力と慣性力の合力を「見かけの重力」として 1 つの力にまとめましょう。

ヒント 2

慣性力は加速度と逆向き（左向き）で大きさ $ma$ 。重力 $m g$ （鉛直下向き）と直交するので、合力の大きさは三平方の定理で求められます。

ヒント 3

見かけの重力の大きさは $(m g)^{2} + (ma)^{2}$ 。小球は電車内で静止しているので、糸の張力はこの見かけの重力とつり合います。

答えと解説

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m g^{2} + a^{2}

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解説を読む

電車の中の観測者から見て考える。

1. 慣性力を加える
電車は右向きに加速度 $a$ で加速しているので、電車内の観測者から見ると、小球には加速度と逆向き（左向き）に大きさ $ma$ の慣性力がはたらくように見える。

2. 見かけの重力をつくる
小球には、鉛直下向きの重力 $m g$ と、水平左向きの慣性力 $ma$ がはたらく。この 2 力は直交しているので、合力の大きさは三平方の定理より
$(m g)^{2} + (ma)^{2} = m g^{2} + a^{2}$
となる。この合力を「見かけの重力」とみなす。見かけの重力加速度の大きさは $g^{'} = g^{2} + a^{2}$ で、向きは鉛直下向きから左（電車の後ろ側）へ $tan α = \frac{a}{g}$ を満たす角 $α$ だけ傾いている。

3. つり合いを立てる
電車内で小球は静止しているので、小球にはたらく力（見かけの重力と糸の張力）はつり合っている。したがって糸は見かけの重力と同じ向き（鉛直から $α$ だけ後ろへ傾いた向き）に張り、張力の大きさ $T$ は見かけの重力の大きさに等しい。
$T = m g^{2} + a^{2}$

（確認）糸が鉛直となす角を $α$ として成分で書くと、鉛直方向 $T cos α = m g$ 、水平方向 $T sin α = ma$ 。2 式をそれぞれ 2 乗して足すと $T^{2} = m^{2} (g^{2} + a^{2})$ となり、同じ結果が得られる。

別解

地面に対して静止した観測者から見ると、小球は電車と同じく右向きに加速度の大きさ $a$ で加速している。小球にはたらく力は、重力 $m g$ （鉛直下向き）と糸の張力 $T$ （糸の方向）である。糸が鉛直となす角を $θ$ とする。

鉛直方向のつりあい: $T cos θ = m g$
水平方向の運動方程式: $T sin θ = ma$

両式を2乗して足すと $T^{2} (cos^{2} θ + sin^{2} θ) = m^{2} g^{2} + m^{2} a^{2}$ となる。よって $T = m g^{2} + a^{2}$ 。

検算: $a = 0$ なら $T = m g$ で正しい。 $g = 0$ なら $T = ma$ で、水平方向の運動方程式と一致する。電車内の観測者から見ても、重力 $m g$ と慣性力 $ma$ （左向き）の合力の大きさが $m g^{2} + a^{2}$ で、これが張力とつりあうので同じ結果になる。

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