力と運動の問題

電車とともに動く観測者（電車内の人）から見て考える。小球の質量を $m$ とする。

1. 小球にはたらく力
電車内から見ると、小球には次の 2 つの力がはたらく。
- 重力：鉛直下向きに大きさ $mg$
- 慣性力：電車の加速度と逆向き（左向き）に大きさ $m\cdot \frac{3}{4}g$

2. 見かけの重力にまとめる
この 2 力の合力を「見かけの重力」$m{g}^{\prime }$ とみなす。2 力は直交しているので、その大きさは
$$m{g}^{\prime }=\sqrt{(mg{)}^2+{\left(\frac{3}{4}mg\right)}^2}=\frac{5}{4}mg$$
より、見かけの重力加速度の大きさは $g^{\prime }=\frac{5}{4}g$ である。その向きは鉛直から後方（左）へ角 $\alpha$ だけ傾いていて、
$$\tan \alpha =\frac{\frac{3}{4}g}{g}=\frac{3}{4},\cos \alpha =\frac{g}{g^{\prime }}=\frac{4}{5}$$

3. 電車内での運動
見かけの重力は一定で、小球ははじめ電車に対して静止しているので、電車内から見ると小球は見かけの重力の向きに、加速度の大きさ $g^{\prime }$ の等加速度直線運動をする（傾いた向きに「まっすぐ落ちる」）。
鉛直方向に $h$ 下がる間に、この直線にそって進む距離 $s$ は
$$s=\frac{h}{\cos \alpha }=\frac{5}{4}h$$

4. 床に達する直前の速さ
初速度 $0$ の等加速度直線運動の式 $v^2=2g^{\prime }s$ より
$$v^2=2\cdot \frac{5}{4}g\cdot \frac{5}{4}h=\frac{25}{8}gh$$
$$v=\sqrt{\frac{25}{8}gh}=\frac{5}{4}\sqrt{2gh}$$

（確認：鉛直方向は加速度 $g$ なので鉛直成分は $\sqrt{2gh}$、落下時間は $\sqrt{\frac{2h}{g}}$。水平方向は加速度 $\frac{3}{4}g$ なので水平成分は $\frac{3}{4}g\sqrt{\frac{2h}{g}}=\frac{3}{4}\sqrt{2gh}$。合わせた速さは $\sqrt{1+\frac{9}{16}}\sqrt{2gh}=\frac{5}{4}\sqrt{2gh}$ となり一致する。）

電車の中から見ると、小球には重力 $mg$（鉛直下向き）と慣性力 $m\cdot \frac{3}{4}g$（左向き、電車の加速度と逆向き）がはたらく。これらの合力の大きさは $m\sqrt{g^2+{\left(\frac{3}{4}g\right)}^2}=m\cdot \frac{5}{4}g$ である。

電車に対して小球は静止の状態から出発するので、合力の向きに一定の加速度 $\frac{5}{4}g$ で直線運動をする。その向きは鉛直下向きから左へ $\tan \theta =\frac{3}{4}$ だけ傾いている。

鉛直方向は初速度 0、加速度 $g$ の等加速度運動である。落下距離 $h$ にかかる時間を $t$ とすると、$h=\frac{1}{2}g{t}^2$ より $t=\sqrt{2h/g}$ となる。

このとき鉛直方向の速さは $v_y=gt=\sqrt{2gh}$、水平方向の速さは $v_x=\frac{3}{4}gt=\frac{3}{4}\sqrt{2gh}$ である。

よって速さは
$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{2gh}\sqrt{1+\frac{9}{16}}=\frac{5}{4}\sqrt{2gh}$ となる。

検算として、仕事とエネルギーの関係を用いる。合力 $\frac{5}{4}mg$ の向きに進む距離は $h/\cos \theta =\frac{5}{4}h$（$\cos \theta =\frac{4}{5}$）である。したがって $\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{5}{4}mg\cdot \frac{5}{4}h$ となり、$v^2=\frac{25}{16}\cdot 2gh$ から $v=\frac{5}{4}\sqrt{2gh}$ が得られ、一致する。