見かけの重力

水平に加速度 $a$ で加速する電車内で、重力と慣性力の合力を見かけの重力（大きさ $g^{2} + a^{2}$ 、鉛直から $tan α = \frac{a}{g}$ だけ傾く）とみて、つるした小球のつり合いの向きや、静かにはなした小球の電車内での運動（落下点のずれ）を求められる

前提

慣性力（高校物理力と運動）

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算数中学高校大学大学院

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慣性力（高校物理力と運動）

説明

水平に加速している電車の中では、電車とともに動く人から見ると、物体に重力と慣性力が同時にはたらきます。この 2 つはどちらも一定で質量に比例するので、まとめて 1 つの「見かけの重力」とみなせます。こうすると、つるした小球の糸の傾きや張力、静かにはなした小球の落下点のずれを、ふつうの重力の問題と同じように求められます。

なぜそうしてよいのか

電車が水平に加速度 $a$ で加速しているとき、電車内の観測者から見ると、質量 $m$ の物体には鉛直下向きの重力 $m g$ と、加速度と逆向き（後ろ向き）の慣性力 $ma$ がはたらきます。どちらも大きさと向きが一定で、しかも $m$ に比例しています。これは重力とまったく同じ性質です。そこで 2 つをベクトルとして足し合わせると、 $m g^{'}$ （ $g^{'}$ は一定のベクトル）と書けます。つまり電車内では、重力加速度が $g^{'}$ に変わった世界と同じに見えるのです。

合力は、鉛直下向き $m g$ と水平後ろ向き $ma$ を 2 辺とする直角三角形の斜辺になります。三平方の定理から大きさは $m g^{2} + a^{2}$ 、つまり見かけの重力加速度の大きさは $g^{'} = g^{2} + a^{2}$ です。向きは鉛直下向きから後ろ側へ角 $α$ だけ傾いていて、直角三角形の辺の比から $tan α = \frac{a}{g}$ です。

この「傾いた重力」で考えれば、つるした小球は糸が見かけの重力の向き（真下から後ろへ $α$ 傾いた向き）にのびた状態でつり合い、張力は $m g^{'}$ です。また電車に対して静かにはなした小球は、初速度 0 で一定の力を受けるので、見かけの重力の向きに一直線に等加速度運動します。成分で見ても、鉛直方向は加速度 $g$ 、水平後ろ向きは加速度 $a$ で、どちらも 0 から動き出すので同じ時間 $t$ での移動距離の比は $\frac{1}{2} a t^{2} : \frac{1}{2} g t^{2} = a : g$ となり、直線運動であることが確かめられます。

手順

電車とともに動く観測者の立場に立ち、物体に重力 $m g$ （鉛直下向き）と慣性力 $ma$ （電車の加速度と逆向き）をかき込む。
2 力を合成して見かけの重力とする。大きさ $m g^{'} = m g^{2} + a^{2}$ 、向きは鉛直下向きから加速度と逆側へ角 $α$ 傾き、 $tan α = \frac{a}{g}$ 。
つるした物体なら、糸は見かけの重力の向きにのびてつり合う（真下から後ろへ $α$ 傾く）。張力は $T = m g^{'} = m g^{2} + a^{2}$ 。
電車に対して静かにはなした物体なら、見かけの重力の向きに一直線に落ちる。高さ $h$ から落とすと、床での落下点は真下から後ろへ $h tan α = \frac{ha}{g}$ ずれる。

例題

水平でまっすぐな線路上を、電車が一定の加速度 $1.96 m/ s^{2}$ で加速している。電車の床から高さ $2.0 m$ の位置から、小球を電車に対して静かにはなした。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とし、空気抵抗は無視する。小球が床に落ちた点は、はなした点の真下の床の点から、電車の進行方向と逆向きに何 m の位置か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順 1：電車内の観測者から見ると、小球（質量 $m$ ）には鉛直下向きの重力 $m \times 9.8$ と、進行方向と逆向きの慣性力 $m \times 1.96$ がはたらく。

手順 2：この 2 力の合力が見かけの重力で、その向きは鉛直下向きから進行方向と逆側へ角 $α$ だけ傾いている。
$tan α = \frac{a}{g} = \frac{1.96}{9.8} = 0.20$

手順 4：小球は電車に対して初速度 0 ではなされたので、見かけの重力の向きに一直線に落ちる。鉛直に $2.0 m$ 落ちる間に水平にずれる距離は
$h tan α = 2.0 \times 0.20 = 0.40 m$
ずれる向きは見かけの重力が傾いている側、すなわち進行方向と逆向きである。

（確認：鉛直方向は $2.0 = \frac{1}{2} \times 9.8 t^{2}$ 、水平方向は $x = \frac{1}{2} \times 1.96 t^{2}$ なので $x = 2.0 \times \frac{1.96}{9.8} = 0.40 m$ と一致する。）

よって $0.40 m$ 。

答え: $0.40$

よくある誤り

見かけの重力が進行方向（前）に傾くとしてしまう誤り。正しくは慣性力が加速度と逆向きなので、糸や落下の向きは後ろへ傾く。加速中のつり革が後ろへ傾くのと同じ。
傾きの角を $tan α = \frac{g}{a}$ や $sin α = \frac{a}{g}$ としてしまう誤り。正しくは鉛直からの角 $α$ について、対辺が $ma$ 、隣辺が $m g$ なので $tan α = \frac{a}{g}$ 。
見かけの重力の大きさを $m (g + a)$ と単純に足してしまう誤り。2 力は直交しているので、正しくは $m g^{2} + a^{2}$ （張力も $T = m g^{2} + a^{2}$ ）。
電車内で静かにはなした小球が放物線を描く、あるいは真下に落ちるとしてしまう誤り。電車に対する初速度は 0 で一定の見かけの重力だけを受けるので、正しくは見かけの重力の向きに一直線に落ち、落下点は真下から後ろへ $\frac{ha}{g}$ ずれる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

見かけの重力

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