力と運動の問題

電車の中の観測者から見て考える。小球の質量を $m$ とする。

1. 小球にはたらく力（電車内から見る）

電車は進行方向に加速度 $a$ で加速しているので、電車内から見ると、小球には次の 2 つの力がはたらく。
- 重力：鉛直下向きに大きさ $mg$
- 慣性力：加速度と逆向き（進行方向と逆向き）に大きさ $ma$

2. 見かけの重力にまとめる

この 2 力の合力を「見かけの重力」とみる。大きさは
$$\sqrt{(mg{)}^2+(ma{)}^2}=m\sqrt{g^2+a^2}$$
で、向きは鉛直下向きから進行方向と逆向きに角 $\alpha$ だけ傾いていて、
$$\tan \alpha =\frac{ma}{mg}=\frac{a}{g}$$
である。電車内では、重力の代わりにこの一定の「見かけの重力」だけがはたらいていると考えればよい。

3. 小球の運動

小球は電車に対して静かに（速度 $0$ で）はなされ、一定の力（見かけの重力）だけを受けるので、電車内から見ると、見かけの重力の向きにまっすぐ等加速度直線運動をする。つまり小球は、鉛直から進行方向と逆向きに角 $\alpha$ 傾いた直線にそって落ちる。

4. 落下点のずれ

鉛直方向に $h$ 落ちる間に、水平方向には進行方向と逆向きに $x$ だけ動くとすると、直角三角形の関係から
$$x=h\tan \alpha =h\cdot \frac{a}{g}=\frac{ha}{g}$$

（確かめ：電車内から見た加速度は、鉛直下向きに $g$、水平に進行方向と逆向きに $a$ である。落下時間を $t$ とすると $h=\frac{1}{2}g{t}^2$、$x=\frac{1}{2}a{t}^2$ なので、$\frac{x}{h}=\frac{a}{g}$ となり、同じ結果になる。）

よって、落下点は点 $\mathrm{Q}$ から進行方向と逆向きに $\frac{ha}{g}$ はなれている。

電車とともに動く観測者から見ると、小球には鉛直下向きの重力 $mg$ と、進行方向と逆向きの慣性力 $ma$ がはたらく。はなした直後、小球は電車に対して静止しているので、電車内では一定の力を受けて初速 0 から等加速度運動をする。

鉛直方向：$h=\frac{1}{2}g{t}^2$ より $t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$

水平方向（進行方向と逆向きを正）：加速度は $a$ なので、距離は $x=\frac{1}{2}a{t}^2=\frac{1}{2}a\cdot \frac{2h}{g}=\frac{ah}{g}$

検算（地面から見る方法）：はなした瞬間の電車の速さを $v_0$ とすると、小球は水平方向に速さ $v_0$ の等速運動をし、落下時間 $t$ の間に $v_{0}t$ 進む。電車の床の点は $v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$ 進む。その差は $\frac{1}{2}a{t}^2=\frac{ah}{g}$ となり、一致する。

よって、Q から進行方向と逆向きに $\frac{ah}{g}$ はなれている。