力と運動の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル高校物理力と運動

なめらかで水平な床の上に、質量 $M$ の三角台が置かれている。三角台の斜面はなめらかで、水平面と $3 0^{\circ}$ の角をなし、右下がりになっている。斜面上に質量 $m$ の小物体を置き、小物体と三角台を同時に静かにはなしたところ、小物体は斜面をすべり下り、三角台は床の上を左向きにすべった。小物体が斜面上をすべっている間に、小物体が斜面から受ける垂直抗力の大きさを、 $M$ , $m$ と重力加速度の大きさ $g$ を用いて表せ。ただし、三角台は回転せず、床から浮き上がらないものとする。また、空気抵抗は無視する。

M

m

3 0^{\circ}

この問題で使うもの

運動方程式（説明と入口の問題）
慣性力（説明と入口の問題）
力の分解と質点のつり合い（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（42 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

三角台は小物体から押されて左向きに加速する。三角台の加速度を $A$ とおき、三角台とともに動く立場で小物体を考えると、慣性力がはたらく。

ヒント 2

三角台の水平方向の運動方程式は $M A = N sin 3 0^{\circ}$ 。三角台から見ると小物体は斜面に垂直な方向に動かないので、その方向の力（重力・慣性力・垂直抗力）はつり合う。

ヒント 3

斜面に垂直な方向のつり合いは $N + m A sin 3 0^{\circ} = m g cos 3 0^{\circ}$ 。2 つの式から $A$ を消去する。

答えと解説

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\frac{2 3 M m g}{4 M + m}

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解説を読む

斜面の傾きを $θ = 3 0^{\circ}$ 、小物体が斜面から受ける垂直抗力の大きさを $N$ 、三角台の加速度の大きさを $A$ （左向き）とする。

三角台の運動（床から見る）: 三角台は、小物体から垂直抗力の反作用 $N$ を斜面に垂直な向き（左下向き）に受ける。床はなめらかなので、水平方向に三角台が受ける力はこの力の水平成分 $N sin θ$ （左向き）だけである。運動方程式は
$M A = N sin θ (1)$

小物体の運動（三角台とともに動く立場から見る）: 三角台は左向きに加速度 $A$ で動くので、三角台から見ると、小物体には右向きに大きさ $m A$ の慣性力がはたらく。三角台から見ると、小物体は斜面にそって運動し、斜面に垂直な方向には動かないので、斜面に垂直な方向の力はつり合う。
- 重力の斜面に垂直な成分: $m g cos θ$ （斜面に押しつける向き）
- 慣性力の斜面に垂直な成分: 斜面は右下がりなので、右向きの慣性力は斜面から離れる向きの成分 $m A sin θ$ をもつ
- 垂直抗力: $N$ （斜面から離れる向き）

よって
$N + m A sin θ = m g cos θ (2)$

連立: $(1)$ より $A = \frac{N sin θ}{M}$ 。これを $(2)$ に代入して
$N + \frac{m sin ^{2} θ}{M} N = m g cos θ$
$N = \frac{M m g cos θ}{M + m sin ^{2} θ}$

$θ = 3 0^{\circ}$ より $cos θ = \frac{3}{2}$ , $sin^{2} θ = \frac{1}{4}$ なので
$N = \frac{\frac{3}{2} M m g}{M + \frac{1}{4} m} = \frac{2 3 M m g}{4 M + m}$

（ $M \to \infty$ とすると $N \to \frac{3}{2} m g = m g cos 3 0^{\circ}$ となり、三角台が固定された場合と一致する。）

別解

垂直抗力の大きさを $N$ 、斜面の傾き $θ = 3 0^{\circ}$ とする。三角台の加速度の大きさを $A$ （左向き）、小物体の三角台に対する斜面にそった相対加速度の大きさを $a$ （斜面下向き）とする。

右向きを正とする。小物体にはたらく垂直抗力は斜面に垂直で斜面の外向き（右上向き）、水平成分は $N sin θ$ （右向き）、鉛直成分は $N cos θ$ （上向き）。

【三角台の水平方向の運動方程式】（小物体から受ける力の水平成分は左向きに $N sin θ$ ）
$M A = N sin θ \dots ①$

【小物体の運動】
三角台とともに動く観測者から見ると、小物体には慣性力 $m A$ （右向き）がはたらく。斜面に垂直な方向では小物体は動かないので、力のつりあいより
$N = m g cos θ - m A sin θ \dots ②$
（慣性力は右向きで、斜面に垂直な成分は斜面に押し付ける向きではなく離れる向きになるため、 $- m A sin θ$ 。）

①より $A = \frac{N s i n θ}{M}$ を②に代入:
$N = m g cos θ - \frac{m N sin ^{2} θ}{M}$
$N (1 + \frac{m sin ^{2} θ}{M}) = m g cos θ$
$N = \frac{M m g cos θ}{M + m sin ^{2} θ}$

$θ = 3 0^{\circ}$ : $cos θ = \frac{3}{2}$ 、 $sin^{2} θ = \frac{1}{4}$ より
$N = \frac{\frac{3}{2} M m g}{M + \frac{m}{4}} = \frac{2 3 M m g}{4 M + m}$

【検算】 $M \to \infty$ （台が固定）のとき $N \to \frac{3}{2} m g = m g cos 3 0^{\circ}$ となり、固定斜面の結果に一致する。また $M \to 0$ では $N \to 0$ となり、台が自由に逃げるので妥当。

この問題の確認

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