力と運動の問題

なめらかで水平な床の上に、質量 $M$ の三角台が置かれている。三角台の斜面はなめらかで、水平面と $30^{\circ }$ の角をなし、右下がりになっている。斜面上に質量 $m$ の小物体を置き、小物体と三角台を同時に静かにはなしたところ、小物体は斜面をすべり下り、三角台は床の上を左向きにすべった。小物体が斜面上をすべっている間に、小物体が斜面から受ける垂直抗力の大きさを、$M$, $m$ と重力加速度の大きさ $g$ を用いて表せ。ただし、三角台は回転せず、床から浮き上がらないものとする。また、空気抵抗は無視する。

水平面と $30^{\circ }$ の角をなす、固定されたあらい斜面がある。斜面上の点 P に小物体を置き、斜面にそって上向きに初速度の大きさ $v_0$ を与えたところ、小物体は斜面を上っていったん止まり、その後、斜面をすべり下りて P にもどってきた。小物体と斜面の間の静止摩擦係数は $\frac{\sqrt{3}}{4}$、動摩擦係数は $\frac{\sqrt{3}}{5}$ である。小物体は斜面の最大傾斜の方向にそって直線運動し、斜面は十分に長いものとする。

小物体が P を出発してから P にもどってくるまでの時間を、$v_0$ と重力加速度の大きさ $g$ を用いて表せ。ただし、空気抵抗は無視する。

水平でまっすぐなレールの上を、電車が右向きに一定の加速度の大きさ $a$ で加速しながら走っている。電車の床は水平で、天井の点 $\mathrm{P}$ は床から高さ $h$ のところにあり、床の上の点 $\mathrm{Q}$ は $\mathrm{P}$ の真下にある。$\mathrm{P}$ に小球をつけておき、ある瞬間に静かにはなした（はなした瞬間、小球は電車に対して静止している）。小球が床に落ちた点と $\mathrm{Q}$ との距離を、$a$, $h$ と重力加速度の大きさ $g$ を用いて表せ。ただし、空気抵抗は無視し、小球は落ちるまでに電車の壁にはぶつからないものとする。

天井に定滑車を固定する。軽くて伸びない糸の一端に質量 $m$ のおもり A をつるし、糸を定滑車にかけて下へのばし、動滑車の下を通してから上へのばして、他端を天井に固定した。動滑車には質量 $3m$ のおもり B をつるした。定滑車と動滑車のあいだの糸、および動滑車と天井のあいだの糸は鉛直である。静かに手をはなしたところ、A は上昇し、B は下降した。この運動の間の糸の張力の大きさを、$m$ と重力加速度の大きさ $g$ を用いて表せ。ただし、滑車はどちらも軽くてなめらかに回り、動滑車の質量は無視できるものとする。また、空気抵抗は無視する。

なめらかな鉛直の壁と、あらい水平な床がある。長さ $L$、質量 $m$ の一様なはしご AB の下端 A を床に、上端 B を壁につけ、はしごが床と $60^{\circ }$ の角をなすように立てかけた。はしごは壁に垂直な鉛直面内にある。質量 $2m$ の人が A からはしごをゆっくり上っていくと、人が A からはしごにそって距離 $x$ の位置に達したとき、はしごがすべり始めた。はしごと床の間の静止摩擦係数を $\frac{\sqrt{3}}{4}$ とするとき、$x$ を $L$ を用いて表せ。ただし、人は大きさの無視できる質点とみなし、はしごの太さは無視する。