あらい面・斜面上の運動

動摩擦力を含めて運動方程式を立て、あらい水平面やあらい斜面をすべる物体の加速度を求められる（例: すべり下りるとき $a = g (sin θ - μ^{'} cos θ)$ ）

前提

静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
運動方程式（高校物理力と運動）

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算数中学高校大学大学院

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運動方程式（高校物理力と運動）

説明

あらい面の上をすべる物体には、運動をさまたげる向きに動摩擦力がはたらきます。この技能では、動摩擦力を力の一つとして運動方程式に入れ、あらい水平面やあらい斜面をすべる物体の加速度を求めます。ブレーキのかかった物体が止まるまでの様子や、斜面をすべり下りる・すべり上がる物体の速さの変化を調べるときに使います。

なぜそうしてよいのか

運動方程式 $ma = F$ の $F$ は、物体にはたらくすべての力の合力（運動方向の成分）です。なめらかな面では重力や張力だけを考えればよかったのですが、あらい面ではそこに動摩擦力が加わります。動摩擦力の大きさは $μ^{'} N$ （ $N$ は垂直抗力の大きさ）で、向きは面に対して物体がすべる向きと逆です。したがって、まず $N$ を求め、次に動摩擦力を決め、最後に運動方向の運動方程式を立てる、という順で考えます。

斜面では、重力 $m g$ を斜面に平行な成分 $m g sin θ$ と垂直な成分 $m g cos θ$ に分解します。物体は斜面に垂直な方向には動かないので、その方向の力はつり合い、 $N = m g cos θ$ です。よって動摩擦力は $μ^{'} m g cos θ$ です。すべり下りるときは動摩擦力が斜面上向きなので、斜面下向きを正として $ma = m g sin θ - μ^{'} m g cos θ$ となり、 $a = g (sin θ - μ^{'} cos θ)$ が得られます。

すべり上がるときは動摩擦力の向きが斜面下向きに変わるので、斜面上向きを正として $ma = - m g sin θ - μ^{'} m g cos θ$ 、つまり $a = - g (sin θ + μ^{'} cos θ)$ となり、物体は減速します。動摩擦力の向きは運動の向きで決まる、という点がこの技能の要です。なお、これらの式は物体がすべっている間だけ成り立ちます。止まったあとは静止摩擦力の問題になります。

手順

物体にはたらく力をすべて図示する：重力 $m g$ 、垂直抗力 $N$ 、動摩擦力、ほかに引く力や張力があればそれも描く。
軸を決める：面に平行な方向（運動方向を正にすることが多い）と、面に垂直な方向に分け、重力などを成分に分解する（斜面なら平行 $m g sin θ$ 、垂直 $m g cos θ$ ）。
面に垂直な方向の力のつり合いから垂直抗力を求める（斜面で他の力がなければ $N = m g cos θ$ 、水平面なら $N = m g$ ）。
動摩擦力の大きさ $μ^{'} N$ を求め、向きを「物体が面に対してすべる向きと逆」に決める。
面に平行な方向について $ma =$ （合力）を立て、 $a$ を求める。 $a$ の符号で加速度の向きを判断する。

例題

水平面と $3 0^{\circ}$ の角をなすあらい斜面上を、質量 $m$ の物体がすべり下りている。物体と斜面の間の動摩擦係数を $\frac{3}{6}$ 、重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。物体の加速度の大きさを $g$ を用いて求めよ。

例題の解答

手順1：物体にはたらく力は、重力 $m g$ （鉛直下向き）、垂直抗力 $N$ （斜面に垂直で斜面から離れる向き）、動摩擦力（斜面に平行）の3つである。
手順2：斜面に平行で下向きを正とする。重力の斜面に平行な成分は $m g sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2} m g$ 、斜面に垂直な成分は $m g cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2} m g$ 。
手順3：斜面に垂直な方向のつり合いより $N = \frac{3}{2} m g$ 。
手順4：動摩擦力の大きさは $μ^{'} N = \frac{3}{6} \times \frac{3}{2} m g = \frac{1}{4} m g$ 。物体は斜面を下向きにすべるので、動摩擦力は斜面上向き。
手順5：斜面下向きを正として運動方程式を立てると $ma = \frac{1}{2} m g - \frac{1}{4} m g = \frac{1}{4} m g$ 。よって $a = \frac{g}{4}$ 。正なので加速度は斜面下向きで、大きさは $\frac{g}{4}$ 。（公式 $a = g (sin θ - μ^{'} cos θ)$ に代入しても同じ結果になる。）

答え: $\frac{g}{4}$

よくある誤り

斜面上でも垂直抗力を $N = m g$ としてしまう誤り。正しくは斜面に垂直な方向のつり合いから $N = m g cos θ$ で、動摩擦力は $μ^{'} m g cos θ$ 。
すべり上がるときも動摩擦力を斜面上向きにしてしまい $a = g (sin θ - μ^{'} cos θ)$ を使う誤り。正しくは動摩擦力は運動と逆の斜面下向きなので、上向きを正として $a = - g (sin θ + μ^{'} cos θ)$ 。
すべっている物体の摩擦力に静止摩擦係数を使い $μ N$ としてしまう誤り。正しくは、すべっている間は動摩擦係数を使い $μ^{'} N$ 。
水平面で斜め上向きに引く力 $F$ （水平との角 $α$ ）があるのに $N = m g$ としてしまう誤り。正しくは鉛直方向のつり合いから $N = m g - F sin α$ で、動摩擦力は $μ^{'} (m g - F sin α)$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

あらい面・斜面上の運動

前提

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なぜそうしてよいのか

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