力と運動の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル高校物理力と運動

水平面と $3 0^{\circ}$ の角をなす、固定されたあらい斜面がある。斜面上の点 P に小物体を置き、斜面にそって上向きに初速度の大きさ $v_{0}$ を与えたところ、小物体は斜面を上っていったん止まり、その後、斜面をすべり下りて P にもどってきた。小物体と斜面の間の静止摩擦係数は $\frac{3}{4}$ 、動摩擦係数は $\frac{3}{5}$ である。小物体は斜面の最大傾斜の方向にそって直線運動し、斜面は十分に長いものとする。

小物体が P を出発してから P にもどってくるまでの時間を、 $v_{0}$ と重力加速度の大きさ $g$ を用いて表せ。ただし、空気抵抗は無視する。

P

v_{0}

3 0^{\circ}

この問題で使うもの

あらい面・斜面上の運動（説明と入口の問題）
静止摩擦力と動摩擦力（説明と入口の問題）
力の分解と質点のつり合い（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（42 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

上るときと下るときで、動摩擦力の向きが逆になる。それぞれの場合について運動方程式を立てて、加速度を求めよう。

ヒント 2

垂直抗力は $m g cos 3 0^{\circ}$ 。上るときの加速度の大きさは $g (sin 3 0^{\circ} + μ^{'} cos 3 0^{\circ})$ 、下るときは $g (sin 3 0^{\circ} - μ^{'} cos 3 0^{\circ})$ になる。

ヒント 3

上るときの加速度の大きさは $\frac{4}{5} g$ で、上る時間は $\frac{5 v _{0}}{4 g}$ 、上る距離は $\frac{5 v _{0}^{2}}{8 g}$ 。下りは初速度 $0$ 、加速度の大きさ $\frac{1}{5} g$ で同じ距離を進む。

答えと解説

答えを見る

\frac{15 v _{0}}{4 g}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

小物体の質量を $m$ 、動摩擦係数を $μ^{'} = \frac{3}{5}$ 、静止摩擦係数を $μ = \frac{3}{4}$ とする。斜面に垂直な方向の力のつり合いより、垂直抗力の大きさは
$N = m g cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2} m g$
である。動摩擦力の大きさは $μ^{'} N = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{2} m g = \frac{3}{10} m g$ である。

上るとき

動摩擦力は運動と逆向き（斜面下向き）にはたらく。斜面下向きを正とした加速度の大きさを $a_{1}$ とすると、運動方程式は
$m a_{1} = m g sin 3 0^{\circ} + \frac{3}{10} m g = \frac{1}{2} m g + \frac{3}{10} m g = \frac{4}{5} m g よって a_{1} = \frac{4}{5} g$
止まるまでの時間 $t_{1}$ と、上る距離 $d$ は
$t_{1} = \frac{v _{0}}{a _{1}} = \frac{5 v _{0}}{4 g}, d = \frac{v _{0}^{2}}{2 a _{1}} = \frac{5 v _{0}^{2}}{8 g}$

止まった点で再びすべり出すか

止まった瞬間、小物体をすべり下ろそうとする力の大きさは $m g sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2} m g$ 、最大摩擦力の大きさは $μ N = \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2} m g = \frac{3}{8} m g$ である。 $\frac{1}{2} m g > \frac{3}{8} m g$ なので、静止摩擦力では支えきれず、小物体はすぐにすべり下り始める（問題文のとおり）。

下るとき

動摩擦力は斜面上向きにはたらく。斜面下向きの加速度の大きさを $a_{2}$ とすると
$m a_{2} = \frac{1}{2} m g - \frac{3}{10} m g = \frac{1}{5} m g よって a_{2} = \frac{1}{5} g$
静止した状態から距離 $d$ をすべり下りるのにかかる時間 $t_{2}$ は、 $d = \frac{1}{2} a_{2} t_{2}^{2}$ より
$t_{2} = \frac{2 d}{a _{2}} = \frac{2 \cdot \frac{5 v _{0}^{2}}{8 g}}{\frac{g}{5}} = \frac{25 v _{0}^{2}}{4 g ^{2}} = \frac{5 v _{0}}{2 g}$

合計
$t_{1} + t_{2} = \frac{5 v _{0}}{4 g} + \frac{5 v _{0}}{2 g} = \frac{15 v _{0}}{4 g}$

別解

斜面の傾き $θ = 3 0^{\circ}$ より $sin θ = \frac{1}{2}$ 、 $cos θ = \frac{3}{2}$ 。小物体の質量を $m$ とする。斜面に垂直な方向のつりあいから垂直抗力は $N = m g cos θ$ で、動摩擦力の大きさは $μ^{'} N = \frac{3}{5} \cdot m g \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{10} m g$ 。

（上り）斜面にそって下向きに重力の成分 $m g sin θ = \frac{1}{2} m g$ と、下向きの動摩擦力 $\frac{3}{10} m g$ がはたらく。加速度の大きさを $a_{1}$ （減速）とすると
$m a_{1} = \frac{1}{2} m g + \frac{3}{10} m g = \frac{4}{5} m g$ 、 $a_{1} = \frac{4}{5} g$
止まるまでの時間は $t_{1} = \frac{v _{0}}{a _{1}} = \frac{5 v _{0}}{4 g}$ 、上った距離は $d = \frac{v _{0}^{2}}{2 a _{1}} = \frac{5 v _{0}^{2}}{8 g}$ 。

（止まった後）すべり下りるかを確かめる。重力の斜面方向の成分は $\frac{1}{2} m g$ 。最大静止摩擦力は $\frac{3}{4} \cdot m g \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{8} m g = 0.375 m g$ 。 $0.5 m g > 0.375 m g$ なので、すべり下りる（問題文とも一致）。

（下り）動摩擦力は上向きで $\frac{3}{10} m g$ 。加速度の大きさを $a_{2}$ とすると
$m a_{2} = \frac{1}{2} m g - \frac{3}{10} m g = \frac{1}{5} m g$ 、 $a_{2} = \frac{g}{5}$
$d = \frac{1}{2} a_{2} t_{2}^{2}$ より $t_{2}^{2} = \frac{2 d}{a _{2}} = 2 \cdot \frac{5 v _{0}^{2}}{8 g} \cdot \frac{5}{g} = \frac{25 v _{0}^{2}}{4 g ^{2}}$ 、 $t_{2} = \frac{5 v _{0}}{2 g}$ 。

全体の時間: $t = t_{1} + t_{2} = \frac{5 v _{0}}{4 g} + \frac{10 v _{0}}{4 g} = \frac{15 v _{0}}{4 g}$ 。

検算: $v_{0} = 4 g$ を代入すると $t_{1} = 5$ 、 $d = \frac{5 \cdot 16 g ^{2}}{8 g} = 10 g$ 、下りの $\frac{1}{2} \cdot \frac{g}{5} \cdot t_{2}^{2} = 10 g$ より $t_{2}^{2} = 100$ 、 $t_{2} = 10$ 。合計 $15$ で、 $\frac{15 \cdot 4 g}{4 g} = 15$ と一致する。

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が答えを見ずに 3 回解き、3 回とも同じ答えになりました
プログラムで答えを計算し直し、一致を確認しました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

確認の方法について

間違いを報告する

この問題の誤り・分かりにくい点・難易度や学年のずれを知らせる