力と運動の問題

水平であらい床の上に、高さ $h$ の台が置かれている。台の上面の端は床に平行な直線状の角になっていて、この角はなめらかである。長さ $L$、質量 $m$ の一様な細い棒の一端 A を床につけ、棒を角に立てかけたところ、棒は角と直交する鉛直面内にあり、床と $30^{\circ }$ の角をなして静止した。棒は A と反対側の端が角より先に突き出た状態で、角とは棒の途中の 1 点で接しており、台の側面とは触れていない。ここで $2h<L<\frac{16}{3}h$ とする。

棒が静止を保つために必要な、A と床の間の静止摩擦係数の最小値を、$h$, $L$ を用いて表せ。重力加速度の大きさを $g$ とする。

長さ $L$、質量 $m$ の一様な細い棒 AB の端 B に、大きさの無視できる質量 $M$ の小さなおもりを固定した。棒の両端 A, B にそれぞれ長さ $L$ の軽くて伸びない糸をつけ、2 本の糸の他端を天井の同じ点 O に固定して、棒を静かにつるした。棒と 2 本の糸は同じ鉛直面内にあり、全体は静止している。このとき三角形 OAB は 1 辺の長さ $L$ の正三角形であり、棒は水平から傾いて、B が A より低くなっている。

棒 AB が水平面となす角を $\theta \left(0<\theta <\frac{\pi }{2}\right)$ とするとき、$\tan \theta$ を $m$, $M$ を用いて表せ。

水平な床の上に、水平面と $30^{\circ }$ の角をなすなめらかな斜面をもつ台が固定されている。斜面の上端には軽くてなめらかに回る滑車が取り付けてある。斜面上に質量 $m$ の小物体 A を置き、A に軽くて伸びない糸をつけ、糸を斜面に平行に張って滑車にかけ、糸の他端に質量 $2m$ のおもり B をつるした。B の底面は床から高さ $h$ の位置にある。全体が静止した状態から静かに手をはなすと、A は斜面を上り、B は鉛直に下降して床に衝突し、そのまま床の上で静止した。A が手をはなした位置から斜面にそって上った距離の最大値を、$h$ を用いて表せ。ただし、A は滑車に達せず、B が床に衝突したあと糸はたるんで A に力をおよぼさないものとする。また、空気抵抗は無視する。

水平な床の上に置いた長い板の一端 O を床につけたまま、他端をゆっくり持ち上げて、板と床のなす角 $\theta$ を $0$ から少しずつ大きくしていく。板の上には質量 $m$ の小物体がのっている。小物体がすべり始めた瞬間に板の傾きを固定したところ、小物体はそのまま板にそってすべり下りた。小物体と板の間の静止摩擦係数を $\frac{3}{4}$、動摩擦係数を $\frac{1}{2}$、重力加速度の大きさを $g$ とする。すべっている間の小物体の加速度の大きさを、$g$ を用いて表せ。ただし、空気抵抗は無視し、板は曲がらないものとする。

水平面と $30^{\circ }$ の角をなす、固定されたあらい斜面がある。斜面上の点 P に小物体を置き、斜面にそって上向きに初速度の大きさ $v_0$ を与えたところ、小物体は斜面を上っていったん止まり、その後、斜面をすべり下りて P にもどってきた。小物体と斜面の間の静止摩擦係数は $\frac{\sqrt{3}}{4}$、動摩擦係数は $\frac{\sqrt{3}}{5}$ である。小物体は斜面の最大傾斜の方向にそって直線運動し、斜面は十分に長いものとする。

小物体が P を出発してから P にもどってくるまでの時間を、$v_0$ と重力加速度の大きさ $g$ を用いて表せ。ただし、空気抵抗は無視する。