重心と剛体のつり合いの条件

剛体がつり合う条件が「合力が $0$ 」かつ「任意の点のまわりの力のモーメントの和が $0$ 」の両方であること、重心が物体の外にある場合もあることを判定できる

前提

力のモーメントと偶力（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））

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説明

変形しない物体（剛体）が静止し続けるための条件と、重力がまとめてはたらく点である重心の性質を判定できるようになります。剛体がつり合うには「合力が $0$ 」と「力のモーメントの和が $0$ 」の両方が必要で、片方だけでは足りません。また、重心が物体の外にある場合もあります。どちらも正誤問題でよく問われます。

なぜそうしてよいのか

質点（大きさを考えない物体）では、合力が $0$ なら、もとが静止していれば静止を続け、動いていれば等速直線運動を続けます（慣性の法則）。剛体では、これに加えて回転も考える必要があります。偶力を思い出してください。大きさが等しく逆向きの 2 力が別々の作用線上にはたらくと、合力は $0$ なのに、静止していた剛体は回り始めます。合力 $0$ は「全体の位置がずれていかない」ための条件にすぎません。静止している剛体が回り始めないためには、別に「力のモーメントの和が $0$ 」が必要です。剛体のつり合いの条件は、この 2 つがそろうことです。

モーメントの和は、どの点のまわりで計算すればよいのでしょうか。同じ平面内の力を考え、水平に $x$ 軸、鉛直に $y$ 軸をとります。各力を水平成分 $F_{i x}$ と鉛直成分 $F_{i y}$ に分け、作用点を $(x_{i}, y_{i})$ とします。1 つの力のモーメントは、その 2 成分のモーメントの和に等しくなります（2 成分は同じ作用点にはたらき、合わせるともとの力になるからです）。点 $(a, b)$ のまわりの反時計回りのモーメントは、鉛直成分では $(x_{i} - a) F_{i y}$ 、水平成分では $- (y_{i} - b) F_{i x}$ です。すべての力について足すと $\sum {(x_{i} - a) F_{i y} - (y_{i} - b) F_{i x}} = \sum (x_{i} F_{i y} - y_{i} F_{i x}) - a \sum F_{i y} + b \sum F_{i x}$ となります。合力が $0$ 、つまり $\sum F_{i x} = 0$ かつ $\sum F_{i y} = 0$ なら、点の位置 $a, b$ を含む項が消えます。したがって、モーメントの和はどの点のまわりでも同じ値になります。これは力の向きがばらばらでも成り立つので、合力が $0$ なら、1 点のまわりでモーメントの和が $0$ になれば、ほかのどの点のまわりでも $0$ です。計算に使う点は自由に選べます。未知の力の作用点を選ぶと、その力のモーメントが $0$ になり、計算が楽になります。

重心は、物体の各部分にはたらく重力を 1 つの力 $M g$ にまとめるとき、その力を作用させる点です。各部分の重力によるモーメントの和と、重心にはたらく $M g$ のモーメントが、どの点のまわりでも等しくなるように決めます。たとえば質量 $m_{1}, m_{2}$ の部分が位置 $x_{1}, x_{2}$ にあれば、 $(m_{1} + m_{2}) x_{G} = m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2}$ から重心の位置 $x_{G}$ が決まります。平面上の物体では、 $x$ 座標と $y$ 座標それぞれにこの式を使います。重心は「重さのつり合う位置」ですが、そこに物質があるとは限りません。一様な円形の輪では、対称性から重心は輪の中心になりますが、そこには何もありません。L 字形の例として、長さ $L$ ・質量 $m$ の一様な細い棒 2 本を、端の点 $(0, 0)$ で直角につなぎます。1 本は $x$ 軸上の $0 \leq x \leq L$ 、もう 1 本は $y$ 軸上の $0 \leq y \leq L$ に置きます。各棒の重心は中点 $(\frac{L}{2}, 0)$ と $(0, \frac{L}{2})$ なので、全体の重心は $x_{G} = \frac{m \cdot \frac{L}{2} + m \cdot 0}{2 m} = \frac{L}{4}$ 、同様に $y_{G} = \frac{L}{4}$ です。点 $(\frac{L}{4}, \frac{L}{4})$ は $x$ 軸上にも $y$ 軸上にもないので、棒のない場所にあります。つまり重心は物体の外です。

手順

剛体にはたらく力をすべて書き出し、それぞれの作用点（作用線）を決める。重力は重心に $M g$ がはたらくとする。
合力が $0$ かを調べる。向きごとに（たとえば鉛直方向と水平方向に分けて）、力の和が $0$ かを確かめる。
計算しやすい点を 1 つ選び、回転の向きで符号を決める（例: 反時計回りを正）。そのうえで、力のモーメントの和 $\sum (\pm F \times うでの長さ)$ が $0$ かを調べる。合力が $0$ なら、どの点を選んでも結果は同じになる。
2 と 3 の両方が成り立てばつり合っている。合力が $0$ でもモーメントの和が $0$ でなければ（偶力など）、静止していた剛体は回転し始める。
重心の位置は、対称性か $(m_{1} + m_{2}) x_{G} = m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2}$ （平面では $x, y$ 座標それぞれ）で決める。重心が物体の外にあってもよいことに注意する。

例題

剛体のつり合いと重心について述べた文として正しいものを、次のア〜エのうちから 1 つ選べ。
ア　静止している剛体にはたらく力の合力が $0$ であれば、剛体は必ず静止を続け、回転し始めることはない。
イ　剛体にはたらく力の合力が $0$ で、ある 1 点のまわりの力のモーメントの和が $0$ であれば、ほかのどの点のまわりの力のモーメントの和も $0$ である。
ウ　重心は、必ず物体をつくる物質がある場所（物体の内部）にある。
エ　一様な太さの細い棒と、それより重いおもりからなる物体では、重心より左側の部分の質量と右側の部分の質量が必ず等しい。

例題の解答

まず、手順 2〜4（つり合いには 2 つの条件が必要）で判定する。アは、合力が $0$ でもモーメントの和が $0$ でない場合がある。偶力がその例で、静止していた剛体でも回転し始める。よってアは誤り。
イは手順 3 の内容そのものである。合力が $0$ （ $\sum F_{i x} = 0$ , $\sum F_{i y} = 0$ ）なら、点 $(a, b)$ のまわりのモーメントの和 $\sum (x_{i} F_{i y} - y_{i} F_{i x}) - a \sum F_{i y} + b \sum F_{i x}$ は $a, b$ によらない。1 点のまわりで $0$ なら、どの点のまわりでも $0$ になる。よってイは正しい。
次に、手順 5（重心）で判定する。ウは、一様な円形の輪の重心が輪の中心にあり、そこに物質がないことから誤り。
エについて、重心のまわりで等しくなるのは左右の質量ではなく、重力のモーメントである。たとえば質量 $m_{1}$ の部分が重心から距離 $l_{1}$ 、質量 $m_{2}$ の部分が距離 $l_{2}$ にあるとき、成り立つのは $m_{1} l_{1} = m_{2} l_{2}$ である。質量どうしが等しいとは限らないので、エは誤り。
したがって、正しいものはイである。

答え:

イ

よくある誤り

合力が $0$ なら剛体はつり合うと判断してしまう誤り。正しくは、モーメントの和も $0$ でなければならない。たとえば長さ $L$ の棒の両端に、棒に垂直で逆向きの大きさ $F$ の力（偶力）を加えるとする。合力は $0$ でも、モーメント $F L$ がはたらくので、静止していた棒は回り始める。
重心は必ず物体の内部にあると思い込む誤り。正しくは、重心は重力をまとめて作用させる点であり、そこに物質があるとは限らない。長さ $L$ 、同じ質量の細い棒 2 本で作った L 字形の重心は $(\frac{L}{4}, \frac{L}{4})$ で、棒のない場所にある。
重心の左右で質量（重さ）が等しいと考えてしまう誤り。正しくは、重心のまわりで重力のモーメントがつり合う。 $m_{1} g l_{1} = m_{2} g l_{2}$ なので、重い側ほど重心に近い。
モーメントの和を計算する点を変えると、つり合いの判定が変わると考えてしまう誤り。正しくは、合力が $0$ （ $\sum F_{i x} = \sum F_{i y} = 0$ ）なら、点 $(a, b)$ による項 $- a \sum F_{i y} + b \sum F_{i x}$ が消える。モーメントの和は点の位置によらないので、どの点を選んでも判定は同じになる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
大きさのある物体（剛体）では、物体の各部分に重力がはたらいている。これらの重力をすべて合わせると、1 つの合力（大きさは物体全体の重力の大きさ $m g$ 、向きは鉛直下向き）とみなすことができる。この合力の作用点に糸をつけて物体をつるすと、物体はどの向きにしても回転せずにそのまま静止する。
また、一様な太さの針金を曲げてつくった円形の輪では、この作用点は輪の円の中心にあり、針金そのものの上にはない。このように、この作用点は物体の外にあることもある。
物体の各部分にはたらく重力の合力の作用点を何というか。漢字で答えよ。

この技能を使う問題

難易度 3（共通テストレベル）

大きさをもつ物体（剛体）が、いくつかの力を受けて静止している場合を考える。次の文中の空欄 a・b に入る語句の組み合わせとして正しいものを、下の表のア〜エのうちから 1 つ選べ。

剛体が静止を続ける（つり合う）ための条件は、剛体にはたらく力の [ a ] が $0$ であり、かつ、ある 1 点のまわりの力のモーメントの和が $0$ であることである。この 2 つの条件が成り立つとき、力のモーメントの和は、[ b ]。

	a	b
ア	大きさの和	どの点のまわりで考えても $0$ になる
イ	大きさの和	考える点によっては $0$ にならない
ウ	ベクトルの和（合力）	どの点のまわりで考えても $0$ になる
エ	ベクトルの和（合力）	考える点によっては $0$ にならない

この技能の次に学べること

剛体のつり合い（高校物理力と運動）
連星の質量（高校地学恒星と宇宙）