力と運動の問題

鉛直な壁の点 A に、長さ $L$、質量 $m$ の一様な細い棒 AB の端 A を、なめらかに回転できるちょうつがいで取りつける。棒の他端 B に軽くて伸びない糸の一端をつなぎ、糸の他端を A の真上の壁の点 C に固定したところ、棒は水平になって静止した。このとき、糸 BC と棒 AB のなす角は $30^{\circ }$ である。さらに、棒の上の点 D（$\mathrm{AD}=\frac{3}{4}L$）に軽い糸で質量 $2m$ のおもりをつるしたところ、棒は水平のまま静止した。

棒、壁、糸はすべて同じ鉛直面内にあり、重力加速度の大きさを $g$ とする。このとき、糸 BC の張力の大きさを $m$, $g$ を用いて表せ。

水平であらい床の上に、高さ $h$ の台が置かれている。台の上面の端は床に平行な直線状の角になっていて、この角はなめらかである。長さ $L$、質量 $m$ の一様な細い棒の一端 A を床につけ、棒を角に立てかけたところ、棒は角と直交する鉛直面内にあり、床と $30^{\circ }$ の角をなして静止した。棒は A と反対側の端が角より先に突き出た状態で、角とは棒の途中の 1 点で接しており、台の側面とは触れていない。ここで $2h<L<\frac{16}{3}h$ とする。

棒が静止を保つために必要な、A と床の間の静止摩擦係数の最小値を、$h$, $L$ を用いて表せ。重力加速度の大きさを $g$ とする。

なめらかな鉛直の壁と、あらい水平な床がある。長さ $L$、質量 $m$ の一様なはしご AB の下端 A を床に、上端 B を壁につけ、はしごが床と $60^{\circ }$ の角をなすように立てかけた。はしごは壁に垂直な鉛直面内にある。質量 $2m$ の人が A からはしごをゆっくり上っていくと、人が A からはしごにそって距離 $x$ の位置に達したとき、はしごがすべり始めた。はしごと床の間の静止摩擦係数を $\frac{\sqrt{3}}{4}$ とするとき、$x$ を $L$ を用いて表せ。ただし、人は大きさの無視できる質点とみなし、はしごの太さは無視する。

水平であらい机の上に質量 $M$ の物体 A を置く。A に軽くて伸びない糸の一端をつけ、糸を水平に机の右端まで張り、机の右端に固定した軽い定滑車にかける。糸はそこから鉛直下向きにのび、軽い動滑車の下を通って鉛直上向きにのび、他端を天井の点 Q に固定する。動滑車には質量 $m$ の物体 B をつるす。動滑車の両側の糸はどちらも鉛直であり、A と定滑車の間の糸は水平である。

A と机の間の動摩擦係数を $\mu$、重力加速度の大きさを $g$ とする。滑車はなめらかに回り、滑車の質量、糸の質量、空気抵抗は無視する。また $m>2\mu M$ とする。

はじめ全体を静止させておき、静かに手をはなすと、A は右向きに、B は鉛直下向きに動き出した。A が机の上をすべっている間の糸の張力の大きさを、$M$, $m$, $\mu$, $g$ を用いて表せ。

水平な床の上に、水平面と $30^{\circ }$ の角をなすなめらかな斜面をもつ台が固定されている。斜面の上端には軽くてなめらかに回る滑車が取り付けてある。斜面上に質量 $m$ の小物体 A を置き、A に軽くて伸びない糸をつけ、糸を斜面に平行に張って滑車にかけ、糸の他端に質量 $2m$ のおもり B をつるした。B の底面は床から高さ $h$ の位置にある。全体が静止した状態から静かに手をはなすと、A は斜面を上り、B は鉛直に下降して床に衝突し、そのまま床の上で静止した。A が手をはなした位置から斜面にそって上った距離の最大値を、$h$ を用いて表せ。ただし、A は滑車に達せず、B が床に衝突したあと糸はたるんで A に力をおよぼさないものとする。また、空気抵抗は無視する。