連星の質量

年周視差と角距離から連星の軌道半径を天文単位で求め、 $M_{A} + M_{B} = \frac{a ^{3}}{T ^{2}}$ と $M_{A} r_{A} = M_{B} r_{B}$ から各恒星の質量（太陽質量の何倍か）を求められる

前提

ケプラーの第 3 法則の計算（高校物理円運動・単振動・万有引力）
重心と剛体のつり合いの条件（高校物理力と運動（知識））

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算数中学高校大学大学院

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重心と剛体のつり合いの条件（高校物理力と運動（知識））

説明

2 つの恒星が互いの引力で回り合っているものを連星といいます。連星の公転周期と軌道の大きさを観測すると、恒星の質量を求めることができます。この技能では、年周視差と 2 星の見かけの離れ具合（角距離）から軌道半径を天文単位で求め、ケプラーの第 3 法則と重心の関係を使って、それぞれの恒星が太陽の何倍の質量をもつかを求められるようになります。

なぜそうしてよいのか

前提：ここでは、2 星が円軌道を描き、その軌道面が視線に垂直である（軌道を真上から見ている）場合を考えます。このとき、見かけの角距離は 2 星の実際の間隔をそのまま見込む角度になります。軌道面が視線に対して傾いていると、見かけの間隔は実際より短く見えるので、この方法はそのままでは使えません。

軌道半径を天文単位で求める：地球と太陽の平均距離を 1 天文単位（au）といいます。年周視差 $p$ は、恒星から見て 1 au の長さが見込む角度です。小さい角度では「長さ＝距離 × 角度」と比例で考えてよいので、恒星までの距離を $d$ とすると $1 au = d \times p$ です。同じ距離にある連星の 2 星が角距離 $θ$ だけ離れて見え、これが実際の間隔を見込む角度なら、2 星の間の長さ $a$ は $a = d \times θ$ です。2 つの式の比をとると $d$ が消えて
$a = \frac{θ}{p} [au]$
となります（ $θ$ と $p$ は同じ単位、たとえばどちらも秒（″）で表す）。

質量の和を求める：ケプラーの第 3 法則によると、同じ天体のまわりを回るものでは $\frac{a ^{3}}{T ^{2}}$ が等しくなります。この値は中心にある質量が大きいほど（引力が強く、速く回るので）大きくなり、回り合う 2 天体の質量の和に比例します。地球と太陽では、 $a = 1 au$ 、 $T = 1$ 年で、質量の和はほぼ太陽 1 個分なので、比例定数は 1 です。よって、 $a$ を au、 $T$ を年で表すと、連星の質量の和は太陽質量を単位として
$M_{A} + M_{B} = \frac{a ^{3}}{T ^{2}}$
となります。ここで $a$ は 2 星の間の距離（一方から見たもう一方の軌道の半径）です。

質量を分ける：2 星は、共通の重心のまわりを回っています。重心は、2 星を棒の両端につけた天びんのつり合う点と同じで、力のモーメントのつり合いから、重心からの距離を $r_{A}$ 、 $r_{B}$ とすると $M_{A} r_{A} = M_{B} r_{B}$ が成り立ちます。重い星ほど重心に近く、小さな円を描きます。 $r_{A} + r_{B} = a$ と組み合わせると、質量の和を $r_{B} : r_{A}$ の比に分ければ各星の質量が求まります。

手順

軌道面が視線に垂直で、見かけの角距離が 2 星の実際の間隔にあたることを問題文で確かめる。
2 星の軌道半径（2 星の間の距離）を $a = \frac{θ}{p}$ で天文単位に直す（ $θ$ ：角距離、 $p$ ：年周視差、同じ単位で）。
公転周期 $T$ を年の単位で表し、質量の和を $M_{A} + M_{B} = \frac{a ^{3}}{T ^{2}}$ （太陽質量を単位とする）で求める。
重心からの距離の比 $r_{A} : r_{B}$ を読み取り、 $M_{A} r_{A} = M_{B} r_{B}$ より $M_{A} : M_{B} = r_{B} : r_{A}$ とする。
質量の和をこの比で分けて、各星の質量を求める。

例題

ある連星は、年周視差が $0.1 0^{''}$ で、2 つの恒星 A、B は角距離 $2. 0^{''}$ だけ離れて見える。A と B は共通の重心のまわりを公転周期 50 年で円運動しており、その軌道面は視線に垂直である（見かけの角距離は 2 星の実際の間隔にあたる）。重心から A までの距離は、重心から B までの距離の $\frac{1}{3}$ である。恒星 A の質量は太陽質量の何倍か。ただし、1 天文単位離れて公転周期 1 年で回る地球と太陽の質量の和を太陽質量とする。

例題の解答

手順 1：軌道面は視線に垂直なので、角距離 $2. 0^{''}$ は 2 星の実際の間隔を見込む角度である。

手順 2： $a = \frac{θ}{p} = \frac{2.0}{0.10} = 20$ au。

手順 3： $T = 50$ 年なので、 $M_{A} + M_{B} = \frac{a ^{3}}{T ^{2}} = \frac{2 0 ^{3}}{5 0 ^{2}} = \frac{8000}{2500} = 3.2$ （太陽質量）。

手順 4： $r_{A} : r_{B} = 1 : 3$ なので、 $M_{A} r_{A} = M_{B} r_{B}$ より $M_{A} : M_{B} = r_{B} : r_{A} = 3 : 1$ 。

手順 5： $M_{A} = 3.2 \times \frac{3}{3 + 1} = 2.4$ 、 $M_{B} = 3.2 \times \frac{1}{4} = 0.8$ 。

よって恒星 A の質量は太陽質量の 2.4 倍である。

答え: $2.4$

よくある誤り

軌道半径を $a = θ \times p$ や $a = \frac{p}{θ}$ としてしまう誤り。正しくは、年周視差 $p$ が 1 au の見込む角度なので、角距離 $θ$ が何 au にあたるかは $a = \frac{θ}{p}$ である（例題では $\frac{2.0}{0.10} = 20$ au）。
$\frac{a ^{3}}{T ^{2}}$ で求めた値を一方の星の質量としてしまう誤り。正しくは、 $\frac{a ^{3}}{T ^{2}}$ は 2 星の質量の和 $M_{A} + M_{B}$ であり（例題では 3.2）、各星の質量は重心からの距離の比で分けて求める。
重心に近い星ほど軽いとして $M_{A} : M_{B} = r_{A} : r_{B}$ としてしまう誤り（例題では $M_{A} = 0.8$ になってしまう）。正しくは、 $M_{A} r_{A} = M_{B} r_{B}$ より $M_{A} : M_{B} = r_{B} : r_{A}$ で、重い星ほど重心に近い。例題では $r_{A} : r_{B} = 1 : 3$ なので $M_{A} : M_{B} = 3 : 1$ である。
周期を年以外（日など）、距離を au 以外（km など）で代入してしまう誤り。正しくは、 $M_{A} + M_{B} = \frac{a ^{3}}{T ^{2}}$ は $a$ を au、 $T$ を年で表したときに太陽質量を単位として成り立つ式である。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
恒星 A と恒星 B からなる連星がある。2 つの恒星は共通重心のまわりを円軌道で回っており、公転周期は $40$ 年である。この連星の年周視差は $0.2 5^{''}$ で、地球から見た A と B の間の角距離は $5. 0^{''}$ （つねに一定）である。また、共通重心から A までの距離と、共通重心から B までの距離の比は $2 : 3$ である。
天体までの距離は年周視差 $p^{''}$ を使って $\frac{1}{p}$ パーセクと表せること、 $1$ パーセクの距離にある長さ $1$ 天文単位を見込む角が $1^{''}$ であることを用いてよい。連星の軌道は視線に垂直な面内にあるものとし、2 つの恒星の間の距離を $a$ （天文単位）、公転周期を $T$ （年）とすると、質量の和は太陽質量を単位として $M_{A} + M_{B} = \frac{a ^{3}}{T ^{2}}$ と表される。
恒星 A の質量は太陽質量の何倍か。

この技能を使う問題

難易度 3（共通テストレベル）
ある実視連星は、恒星 A と恒星 B が共通重心のまわりを同じ周期で公転している。観測の結果は次の表のとおりである。
観測量値
年周視差 $0.1 0^{''}$
公転周期 $40$ 年
共通重心から恒星 A までの見かけの角距離 $0.8 0^{''}$
共通重心から恒星 B までの見かけの角距離 $1.2 0^{''}$
ただし、2 つの恒星はともに共通重心を中心とする円軌道を描き、公転軌道面は視線方向に垂直であるとする。年周視差が $p^{''}$ の天体までの距離は $\frac{1}{p}$ pc であり、 $d$ pc の距離にある天体で角度 $θ^{''}$ に見える長さは $θ d$ 天文単位であるとする。また、2 つの恒星間の距離を $a$ 天文単位、公転周期を $T$ 年、2 つの恒星の質量を太陽質量を単位として $M_{A}$ , $M_{B}$ とすると、ケプラーの第 3 法則より
$M_{A} + M_{B} = \frac{a ^{3}}{T ^{2}}$
が成り立つ。さらに、共通重心からの距離と質量について $M_{A} r_{A} = M_{B} r_{B}$ （ $r_{A}$ , $r_{B}$ はそれぞれ共通重心から恒星 A, B までの距離）が成り立つ。
恒星 A の質量は太陽質量の何倍か。整数で答えよ。

観測量	値
年周視差	$0.1 0^{''}$
公転周期	$40$ 年
共通重心から恒星 A までの見かけの角距離	$0.8 0^{''}$
共通重心から恒星 B までの見かけの角距離	$1.2 0^{''}$

難易度 3（共通テストレベル）

ある実視連星は恒星 A と恒星 B からなり、2 つの恒星は共通重心のまわりを円軌道で公転している。軌道面は視線方向に垂直であるとする。この連星を長期間観測したところ、次の結果が得られた。

観測量	値
年周視差	$0.2 0^{''}$
公転周期	$20$ 年
恒星 A の共通重心からの離角（軌道半径に対応する角度）	$0.8 0^{''}$
恒星 B の共通重心からの離角（軌道半径に対応する角度）	$1. 2^{''}$

ここで、年周視差が $p^{''}$ の天体までの距離は $\frac{1}{p}$ パーセクであり、距離 $d$ パーセクの天体で角度 $1^{''}$ に見える長さは $d$ 天文単位であるとする。また、連星の質量の和を $M$ （太陽質量を単位とする）、2 つの恒星間の距離を $a$ （天文単位）、公転周期を $P$ （年）とすると、ケプラーの第 3 法則より $\frac{a ^{3}}{P ^{2}} = M$ が成り立つ。

恒星 A の質量は太陽質量の何倍か。有効数字 2 桁で求めよ。