恒星と宇宙の問題

ある実視連星は恒星 A と恒星 B からなり、2 つの恒星は共通重心のまわりを円軌道で公転している。軌道面は視線方向に垂直であるとする。この連星を長期間観測したところ、次の結果が得られた。

ここで、年周視差が $p^{\prime \prime }$ の天体までの距離は $\frac{1}{p}$ パーセクであり、距離 $d$ パーセクの天体で角度 $1^{\prime \prime }$ に見える長さは $d$ 天文単位であるとする。また、連星の質量の和を $M$（太陽質量を単位とする）、2 つの恒星間の距離を $a$（天文単位）、公転周期を $P$（年）とすると、ケプラーの第 3 法則より $\frac{a^3}{P^2}=M$ が成り立つ。

恒星 A の質量は太陽質量の何倍か。有効数字 2 桁で求めよ。

恒星 A と恒星 B からなる連星がある。2 つの恒星は共通重心のまわりを円軌道で回っており、公転周期は $40$ 年である。この連星の年周視差は $0.25^{\prime \prime }$ で、地球から見た A と B の間の角距離は $5.0^{\prime \prime }$（つねに一定）である。また、共通重心から A までの距離と、共通重心から B までの距離の比は $2:3$ である。

天体までの距離は年周視差 $p^{\prime \prime }$ を使って $\frac{1}{p}$ パーセクと表せること、$1$ パーセクの距離にある長さ $1$ 天文単位を見込む角が $1^{\prime \prime }$ であることを用いてよい。連星の軌道は視線に垂直な面内にあるものとし、2 つの恒星の間の距離を $a$（天文単位）、公転周期を $T$（年）とすると、質量の和は太陽質量を単位として $M_A+M_B=\frac{a^3}{T^2}$ と表される。

恒星 A の質量は太陽質量の何倍か。

地球から $40$ pc の距離にある食連星を観測した。この食連星は恒星 A と恒星 B からなり、望遠鏡では 2 つの恒星を分離して見ることができない。そのため、2 つの恒星の光を合わせた見かけの等級が観測される。観測結果は次の表のとおりであった。

恒星 B が隠れている間も、恒星 A から届く光の量は変わらないものとする。

等級が $5$ 小さくなると明るさは $100$ 倍になる。また、見かけの明るさは距離の $2$ 乗に反比例する。絶対等級は、恒星を $10$ pc の距離に置いたときの見かけの等級である。星間物質による光の吸収は無視し、必要であれば ${\log }_{10}2=0.30$、${\log }_{10}3=0.48$ を用いよ。

恒星 B の絶対等級を、小数第 $2$ 位を四捨五入して小数第 $1$ 位まで求めよ。

同じ散開星団に属する 2 つの恒星 A, B を観測し、次の結果を得た。

この表の見かけの等級は、すべての波長の放射エネルギーをもとにした等級である。星団の大きさは地球から星団までの距離に比べて十分小さいので、A と B の地球からの距離は等しいとみなす。星間物質による吸収は無視し、恒星は黒体とみなして球形とする。

等級が $5$ 小さくなると、見かけの明るさは $100$ 倍になる。また、黒体について次の 2 つの法則が成り立つ。

• ウィーンの変位則：${\lambda }_{\max }T$ は一定（$T$ は表面温度）
• シュテファン・ボルツマンの法則：表面の単位面積から単位時間に放射されるエネルギーは $\sigma T^4$（$\sigma$ は定数）

恒星 B の半径は恒星 A の半径の何倍か。必要なら $\sqrt{10}=3.16$ を用いて、有効数字 2 桁で求めよ。

ある散開星団を観測した。この星団に含まれる恒星は、次の 2 種類だけであることがわかっている。

星団全体の光をまとめて測ったところ、星団全体の見かけの等級は $9.55$ 等であった。

等級が $5$ 小さくなると明るさは $100$ 倍になる。絶対等級は、恒星を地球から $10$ pc の距離に置いたときの見かけの等級であり、見かけの明るさは距離の $2$ 乗に反比例する。星団内の恒星はすべて地球から同じ距離にあるとみなし、星間物質による光の吸収は無視する。また、${\log }_{10}2=0.30$ とする。

この星団までの距離は何 pc か。有効数字 $2$ 桁で求めよ。