恒星と宇宙の問題

ある実視連星は恒星 A と恒星 B からなり、2 つの恒星は共通重心のまわりを円軌道で公転している。軌道面は視線方向に垂直であるとする。この連星を長期間観測したところ、次の結果が得られた。

ここで、年周視差が $p^{\prime \prime }$ の天体までの距離は $\frac{1}{p}$ パーセクであり、距離 $d$ パーセクの天体で角度 $1^{\prime \prime }$ に見える長さは $d$ 天文単位であるとする。また、連星の質量の和を $M$（太陽質量を単位とする）、2 つの恒星間の距離を $a$（天文単位）、公転周期を $P$（年）とすると、ケプラーの第 3 法則より $\frac{a^3}{P^2}=M$ が成り立つ。

恒星 A の質量は太陽質量の何倍か。有効数字 2 桁で求めよ。

ある実視連星は、恒星 A と恒星 B が共通重心のまわりを同じ周期で公転している。観測の結果は次の表のとおりである。

ただし、2 つの恒星はともに共通重心を中心とする円軌道を描き、公転軌道面は視線方向に垂直であるとする。年周視差が $p^{\prime \prime }$ の天体までの距離は $\frac{1}{p}$ pc であり、$d$ pc の距離にある天体で角度 ${\theta }^{\prime \prime }$ に見える長さは $\theta d$ 天文単位であるとする。また、2 つの恒星間の距離を $a$ 天文単位、公転周期を $T$ 年、2 つの恒星の質量を太陽質量を単位として $M_A$, $M_B$ とすると、ケプラーの第 3 法則より
$$M_A+M_B=\frac{a^3}{T^2}$$
が成り立つ。さらに、共通重心からの距離と質量について $M_A{r}_A=M_B{r}_B$（$r_A$, $r_B$ はそれぞれ共通重心から恒星 A, B までの距離）が成り立つ。

恒星 A の質量は太陽質量の何倍か。整数で答えよ。

恒星 A と恒星 B は、本来の明るさ（絶対等級）が等しい。地球から見ると、恒星 A の見かけの等級は $2.0$ 等、恒星 B の見かけの等級は $7.0$ 等であった。恒星 B までの距離は、恒星 A までの距離の何倍か。ただし、等級が $5$ 等小さくなると見かけの明るさは $100$ 倍になり、見かけの明るさは恒星までの距離の $2$ 乗に反比例するものとする。また、星間物質による光の吸収はないものとする。

見かけの等級が $1.5$ 等の恒星 A と、$4.0$ 等の恒星 B がある。等級が $5$ 等小さくなると見かけの明るさは $100$ 倍になるものとする。恒星 A の見かけの明るさは、恒星 B の見かけの明るさの何倍か。

地球から $1000$ パーセクの距離にある恒星の見かけの等級は $12.0$ 等である。見かけの等級 $m$、絶対等級 $M$、距離 $d$〔パーセク〕の間には
$$m-M=5{\log }_{10}d-5$$
の関係が成り立つものとする。この恒星の絶対等級は何等か。ただし、星間物質による光の吸収はないものとする。