恒星と宇宙の問題

恒星 A と恒星 B は、本来の明るさ（絶対等級）が等しい。地球から見ると、恒星 A の見かけの等級は $2.0$ 等、恒星 B の見かけの等級は $7.0$ 等であった。恒星 B までの距離は、恒星 A までの距離の何倍か。ただし、等級が $5$ 等小さくなると見かけの明るさは $100$ 倍になり、見かけの明るさは恒星までの距離の $2$ 乗に反比例するものとする。また、星間物質による光の吸収はないものとする。

ある星団は、見かけの等級がどれも $8$ 等の恒星 $100$ 個だけからなる。この星団全体を $1$ つの天体として見たときの見かけの等級は何等か。ただし、星団全体の見かけの明るさは、個々の恒星の見かけの明るさの和に等しいものとし、等級が $5$ 等小さくなると見かけの明るさは $100$ 倍になるものとする。

ある夜、地上から 2 つの恒星 A, B を観測した。恒星 A の見かけの等級は $1.4$ 等であり、恒星 B の見かけの明るさは恒星 A の $\frac{1}{40}$ 倍であった。

等級が $5$ 小さくなると明るさは $100$ 倍になるものとし、${\log }_{10}2=0.30$ を用いてよい。恒星 B の見かけの等級を小数第 1 位まで求めよ。

ある恒星 X の表面温度は $3000\text{K}$、光度は太陽の $25$ 倍である。太陽の表面温度を $6000\text{K}$ とする。恒星 X と太陽はどちらも黒体とみなせ、半径 $R$、表面温度 $T$ の恒星の光度 $L$ はシュテファン・ボルツマンの法則により $L=4\pi R^2\sigma T^4$（$\sigma$ は定数）で表されるものとする。恒星 X の半径は太陽の半径の何倍か。

地球から $1000$ パーセクの距離にある恒星の見かけの等級は $12.0$ 等である。見かけの等級 $m$、絶対等級 $M$、距離 $d$〔パーセク〕の間には
$$m-M=5{\log }_{10}d-5$$
の関係が成り立つものとする。この恒星の絶対等級は何等か。ただし、星間物質による光の吸収はないものとする。