恒星と宇宙の問題

太陽と恒星 S のスペクトルを調べたところ、次の表のようになった。

太陽と恒星 S はどちらも黒体とみなせるものとする。ウィーンの変位則より、表面温度 $T$ と ${\lambda }_{\max }$ の間には ${\lambda }_{\max }T=\text{一定}$ の関係がある。また、シュテファン・ボルツマンの法則より、表面の単位面積から毎秒放射されるエネルギーは $\sigma T^4$（$\sigma$ は定数）であり、半径 $R$ の恒星の光度は $L=4\pi R^2\sigma T^4$ と表される。

恒星 S の半径は太陽の半径の何倍か。整数で答えよ。

見かけの等級が $1.5$ 等の恒星 A と、$4.0$ 等の恒星 B がある。等級が $5$ 等小さくなると見かけの明るさは $100$ 倍になるものとする。恒星 A の見かけの明るさは、恒星 B の見かけの明るさの何倍か。

ある恒星 X を観測したところ、次のことがわかった。

また、太陽の絶対等級は $4.8$ 等、表面温度は $5800$ K である。

恒星や太陽は黒体とみなし、ウィーンの変位則 ${\lambda }_{\max }T=2.9\times 10^{-3}\text{m}\cdot \text{K}$（$T$ は表面温度）が成り立つものとする。恒星の光度 $L$ は、半径を $R$、表面温度を $T$ として $L=4\pi R^2\sigma T^4$（$\sigma$ はシュテファン・ボルツマン定数）で表される。等級が $5$ 小さくなると明るさは $100$ 倍になり、距離 $d$ [pc] の恒星の見かけの等級 $m$ と絶対等級 $M$ の間には $M=m+5-5{\log }_{10}d$ の関係がある。星間物質による光の吸収は無視し、$\sqrt{10}=3.16$ を用いてよい。

恒星 X の半径は太陽の半径の何倍か。有効数字 2 桁で求めよ。

赤く見えるある恒星のスペクトルを調べたところ、放射エネルギーが最も強い波長 ${\lambda }_{\max }$ は $9.7\times 10^{-7}\mathrm{m}$ であった。恒星の表面温度 $T$〔K〕と ${\lambda }_{\max }$〔m〕の間には、ウィーンの変位則
$${\lambda }_{\max }T=2.9\times 10^{-3}\mathrm{m}\cdot \mathrm{K}$$
が成り立つものとする。この恒星の表面温度は何 K か。有効数字 2 桁で答えよ。

恒星 A と恒星 B からなる連星がある。2 つの恒星は共通重心のまわりを円軌道で回っており、公転周期は $40$ 年である。この連星の年周視差は $0.25^{\prime \prime }$ で、地球から見た A と B の間の角距離は $5.0^{\prime \prime }$（つねに一定）である。また、共通重心から A までの距離と、共通重心から B までの距離の比は $2:3$ である。

天体までの距離は年周視差 $p^{\prime \prime }$ を使って $\frac{1}{p}$ パーセクと表せること、$1$ パーセクの距離にある長さ $1$ 天文単位を見込む角が $1^{\prime \prime }$ であることを用いてよい。連星の軌道は視線に垂直な面内にあるものとし、2 つの恒星の間の距離を $a$（天文単位）、公転周期を $T$（年）とすると、質量の和は太陽質量を単位として $M_A+M_B=\frac{a^3}{T^2}$ と表される。

恒星 A の質量は太陽質量の何倍か。