恒星と宇宙の問題

太陽と恒星 S のスペクトルを調べたところ、次の表のようになった。

太陽と恒星 S はどちらも黒体とみなせるものとする。ウィーンの変位則より、表面温度 $T$ と ${\lambda }_{\max }$ の間には ${\lambda }_{\max }T=\text{一定}$ の関係がある。また、シュテファン・ボルツマンの法則より、表面の単位面積から毎秒放射されるエネルギーは $\sigma T^4$（$\sigma$ は定数）であり、半径 $R$ の恒星の光度は $L=4\pi R^2\sigma T^4$ と表される。

恒星 S の半径は太陽の半径の何倍か。整数で答えよ。

ある銀河のスペクトルを観測したところ、この銀河の後退速度は $1.4\times 10^4\text{km/s}$ であった。ハッブル・ルメートルの法則 $v=H_{0}d$（$v$ は後退速度、$d$ は銀河までの距離）が成り立ち、ハッブル定数を $H_0=70\text{km/(s}\cdot \text{Mpc)}$ とする。この銀河までの距離は何 Mpc（メガパーセク）か。

地球から $1000$ パーセクの距離にある恒星の見かけの等級は $12.0$ 等である。見かけの等級 $m$、絶対等級 $M$、距離 $d$〔パーセク〕の間には
$$m-M=5{\log }_{10}d-5$$
の関係が成り立つものとする。この恒星の絶対等級は何等か。ただし、星間物質による光の吸収はないものとする。

実験室で波長 $500.0\text{nm}$ に観測されるあるスペクトル線が、ある銀河のスペクトルでは波長 $506.0\text{nm}$ に観測された。光の速さを $c=3.0\times 10^5\text{km/s}$ とし、後退速度 $v$ は光の速さに比べて十分小さく、$v=c\frac{\Delta \lambda }{{\lambda }_0}$（${\lambda }_0$ は実験室での波長、$\Delta \lambda$ は波長のずれ）が成り立つものとする。この銀河の後退速度は何 km/s か。

ある恒星 X の表面温度は $3000\text{K}$、光度は太陽の $25$ 倍である。太陽の表面温度を $6000\text{K}$ とする。恒星 X と太陽はどちらも黒体とみなせ、半径 $R$、表面温度 $T$ の恒星の光度 $L$ はシュテファン・ボルツマンの法則により $L=4\pi R^2\sigma T^4$（$\sigma$ は定数）で表されるものとする。恒星 X の半径は太陽の半径の何倍か。