恒星と宇宙の問題

ある銀河のスペクトルを観測したところ、この銀河の後退速度は $1.4\times 10^4\text{km/s}$ であった。ハッブル・ルメートルの法則 $v=H_{0}d$（$v$ は後退速度、$d$ は銀河までの距離）が成り立ち、ハッブル定数を $H_0=70\text{km/(s}\cdot \text{Mpc)}$ とする。この銀河までの距離は何 Mpc（メガパーセク）か。

ある銀河 A の中に現れた Ia 型超新星の観測から、銀河 A までの距離は $1.5\times 10^2$ Mpc（メガパーセク）と求められた。また、銀河 A のスペクトルを調べたところ、実験室で波長 $600.0\text{nm}$ に現れる吸収線が、波長 $621.0\text{nm}$ に観測された。

銀河 A の後退速度 $v$ は、光の速さを $c$、吸収線のもとの波長を ${\lambda }_0$、波長のずれを $\Delta \lambda$ として $v=c\times \frac{\Delta \lambda }{{\lambda }_0}$ で求められるものとする。銀河の後退速度が距離に比例するというハッブル・ルメートルの法則が成り立ち、その比例定数（ハッブル定数）を銀河 A の観測から決めるとする。宇宙が誕生してから現在まで、すべての銀河が一定の速さで遠ざかってきたと仮定すると、宇宙の年齢は何年か。有効数字 2 桁で求めよ。

ただし、光の速さを $3.0\times 10^5\text{km/s}$、$1\text{Mpc}=3.1\times 10^{19}\text{km}$、$1$ 年 $=3.2\times 10^7\text{s}$ とする。

赤く見えるある恒星のスペクトルを調べたところ、放射エネルギーが最も強い波長 ${\lambda }_{\max }$ は $9.7\times 10^{-7}\mathrm{m}$ であった。恒星の表面温度 $T$〔K〕と ${\lambda }_{\max }$〔m〕の間には、ウィーンの変位則
$${\lambda }_{\max }T=2.9\times 10^{-3}\mathrm{m}\cdot \mathrm{K}$$
が成り立つものとする。この恒星の表面温度は何 K か。有効数字 2 桁で答えよ。

ある銀河の中に、明るさが周期的に変わるセファイド（ケフェウス座 $\delta$ 型変光星）が見つかった。このセファイドの変光周期を測り、周期光度関係を使うと、絶対等級は $-4.0$ 等とわかった。また、このセファイドの見かけの等級（変光の平均の値）は $26.0$ 等であった。見かけの等級 $m$、絶対等級 $M$、距離 $d$〔pc〕の間には $m-M=5{\log }_{10}d-5$ の関係が成り立ち、$1\text{Mpc}=10^6\text{pc}$ とする。星間物質による光の吸収はないものとして、この銀河までの距離は何 Mpc か。

ある渦巻銀河 G の中にセファイド（ケフェウス座δ型変光星）を見つけ、その変光周期を測った。周期光度関係から、このセファイドの絶対等級は $-4.0$ 等と求められた。また、このセファイドの平均の見かけの等級は $27.5$ 等であった。

さらに、銀河 G のスペクトルを調べたところ、実験室で波長 $600.0\text{nm}$ の吸収線が、$602.8\text{nm}$ に観測された。

次の数値と仮定を用いて、宇宙の年齢を求めよ。

• 距離 $d$ [pc] の天体の見かけの等級 $m$ と絶対等級 $M$ の間には $m-M=5{\log }_{10}d-5$ の関係がある。星間物質による吸収は無視する
• ${\log }_{10}2=0.30$ とする
• 光の速さ $c=3.0\times 10^5\text{km/s}$、$1\text{Mpc}=10^6\text{pc}=3.1\times 10^{19}\text{km}$、$1$ 年 $=3.15\times 10^7\text{s}$ とする
• 後退速度 $v$ は光の速さに比べて十分小さく、$v=c\times \frac{\Delta \lambda }{{\lambda }_0}$（${\lambda }_0$ は本来の波長、$\Delta \lambda$ は波長のずれ）で求められるものとする
• 銀河 G の運動は宇宙膨張による後退のみとし、ハッブル・ルメートルの法則 $v=H_{0}d$ が成り立つとする
• 宇宙は誕生以来一定の速さで膨張してきたとみなし、宇宙の年齢を $\frac{1}{H_0}$ で見積もる

宇宙の年齢は何年か。有効数字 $2$ 桁で答えよ。