恒星と宇宙の問題

ある銀河 B の中にセファイド（ケフェウス座δ型変光星）が見つかり、その変光周期は $30$ 日、平均の見かけの等級は $25.0$ 等であった。セファイドの周期光度関係から、変光周期が $30$ 日のセファイドの平均の絶対等級は $-5.0$ 等であることがわかっている。

また、銀河 B のスペクトルを調べたところ、実験室で波長 $500.0\text{nm}$ に現れる吸収線が、波長 $501.2\text{nm}$ に観測された。

次の値と関係を用いてよい。

• 見かけの等級 $m$、絶対等級 $M$、距離 $d$〔pc〕の間には $m-M=5{\log }_{10}d-5$ が成り立つ。
• 後退速度 $v$ は光の速さより十分小さく、波長のずれ $\Delta \lambda$ と元の波長 ${\lambda }_0$ を用いて $v=c\frac{\Delta \lambda }{{\lambda }_0}$ で求められる。
• 星間吸収は無視し、銀河 B の後退速度はすべて宇宙膨張によるものとする。

銀河 B の距離と後退速度からハッブル定数 $H_0$ を求め、宇宙が誕生してから現在まで一定の速さで膨張してきたと仮定して、宇宙の年齢を $\frac{1}{H_0}$ で見積もる。宇宙の年齢は何年か。有効数字 $2$ 桁で答えよ。

ある渦巻銀河 G の中にセファイド（ケフェウス座δ型変光星）を見つけ、その変光周期を測った。周期光度関係から、このセファイドの絶対等級は $-4.0$ 等と求められた。また、このセファイドの平均の見かけの等級は $27.5$ 等であった。

さらに、銀河 G のスペクトルを調べたところ、実験室で波長 $600.0\text{nm}$ の吸収線が、$602.8\text{nm}$ に観測された。

次の数値と仮定を用いて、宇宙の年齢を求めよ。

• 距離 $d$ [pc] の天体の見かけの等級 $m$ と絶対等級 $M$ の間には $m-M=5{\log }_{10}d-5$ の関係がある。星間物質による吸収は無視する
• ${\log }_{10}2=0.30$ とする
• 光の速さ $c=3.0\times 10^5\text{km/s}$、$1\text{Mpc}=10^6\text{pc}=3.1\times 10^{19}\text{km}$、$1$ 年 $=3.15\times 10^7\text{s}$ とする
• 後退速度 $v$ は光の速さに比べて十分小さく、$v=c\times \frac{\Delta \lambda }{{\lambda }_0}$（${\lambda }_0$ は本来の波長、$\Delta \lambda$ は波長のずれ）で求められるものとする
• 銀河 G の運動は宇宙膨張による後退のみとし、ハッブル・ルメートルの法則 $v=H_{0}d$ が成り立つとする
• 宇宙は誕生以来一定の速さで膨張してきたとみなし、宇宙の年齢を $\frac{1}{H_0}$ で見積もる

宇宙の年齢は何年か。有効数字 $2$ 桁で答えよ。

いくつかの銀河について、地球からの距離と後退速度を調べたところ、次の表のようになった。

これらの銀河はハッブル・ルメートルの法則（後退速度が距離に比例する）に従っているものとする。表のデータから求めたハッブル定数を用いる。宇宙が誕生してから現在まで、銀河が現在と同じ速さで遠ざかり続けてきたと仮定する。このとき、宇宙の年齢は何年か。有効数字 $2$ 桁で求めよ。ただし、$1\text{Mpc}=3.1\times 10^{19}\text{km}$、$1$ 年 $=3.2\times 10^7$ 秒とする。

ある銀河のスペクトルを観測したところ、この銀河の後退速度は $1.4\times 10^4\text{km/s}$ であった。ハッブル・ルメートルの法則 $v=H_{0}d$（$v$ は後退速度、$d$ は銀河までの距離）が成り立ち、ハッブル定数を $H_0=70\text{km/(s}\cdot \text{Mpc)}$ とする。この銀河までの距離は何 Mpc（メガパーセク）か。

同じ散開星団に属する 2 つの恒星 A, B を観測し、次の結果を得た。

この表の見かけの等級は、すべての波長の放射エネルギーをもとにした等級である。星団の大きさは地球から星団までの距離に比べて十分小さいので、A と B の地球からの距離は等しいとみなす。星間物質による吸収は無視し、恒星は黒体とみなして球形とする。

等級が $5$ 小さくなると、見かけの明るさは $100$ 倍になる。また、黒体について次の 2 つの法則が成り立つ。

• ウィーンの変位則：${\lambda }_{\max }T$ は一定（$T$ は表面温度）
• シュテファン・ボルツマンの法則：表面の単位面積から単位時間に放射されるエネルギーは $\sigma T^4$（$\sigma$ は定数）

恒星 B の半径は恒星 A の半径の何倍か。必要なら $\sqrt{10}=3.16$ を用いて、有効数字 2 桁で求めよ。