恒星と宇宙

見かけの等級が $1.5$ 等の恒星 A と、$4.0$ 等の恒星 B がある。等級が $5$ 等小さくなると見かけの明るさは $100$ 倍になるものとする。恒星 A の見かけの明るさは、恒星 B の見かけの明るさの何倍か。

恒星 A と恒星 B からなる連星がある。2 つの恒星は共通重心のまわりを円軌道で回っており、公転周期は $40$ 年である。この連星の年周視差は $0.25^{\prime \prime }$ で、地球から見た A と B の間の角距離は $5.0^{\prime \prime }$（つねに一定）である。また、共通重心から A までの距離と、共通重心から B までの距離の比は $2:3$ である。

天体までの距離は年周視差 $p^{\prime \prime }$ を使って $\frac{1}{p}$ パーセクと表せること、$1$ パーセクの距離にある長さ $1$ 天文単位を見込む角が $1^{\prime \prime }$ であることを用いてよい。連星の軌道は視線に垂直な面内にあるものとし、2 つの恒星の間の距離を $a$（天文単位）、公転周期を $T$（年）とすると、質量の和は太陽質量を単位として $M_A+M_B=\frac{a^3}{T^2}$ と表される。

恒星 A の質量は太陽質量の何倍か。

実験室で波長 $500.0\text{nm}$ に観測されるあるスペクトル線が、ある銀河のスペクトルでは波長 $506.0\text{nm}$ に観測された。光の速さを $c=3.0\times 10^5\text{km/s}$ とし、後退速度 $v$ は光の速さに比べて十分小さく、$v=c\frac{\Delta \lambda }{{\lambda }_0}$（${\lambda }_0$ は実験室での波長、$\Delta \lambda$ は波長のずれ）が成り立つものとする。この銀河の後退速度は何 km/s か。

ある星団は、見かけの等級がどれも $8$ 等の恒星 $100$ 個だけからなる。この星団全体を $1$ つの天体として見たときの見かけの等級は何等か。ただし、星団全体の見かけの明るさは、個々の恒星の見かけの明るさの和に等しいものとし、等級が $5$ 等小さくなると見かけの明るさは $100$ 倍になるものとする。

恒星 A と恒星 B は、本来の明るさ（絶対等級）が等しい。地球から見ると、恒星 A の見かけの等級は $2.0$ 等、恒星 B の見かけの等級は $7.0$ 等であった。恒星 B までの距離は、恒星 A までの距離の何倍か。ただし、等級が $5$ 等小さくなると見かけの明るさは $100$ 倍になり、見かけの明るさは恒星までの距離の $2$ 乗に反比例するものとする。また、星間物質による光の吸収はないものとする。

ある恒星 X の表面温度は $3000\text{K}$、光度は太陽の $25$ 倍である。太陽の表面温度を $6000\text{K}$ とする。恒星 X と太陽はどちらも黒体とみなせ、半径 $R$、表面温度 $T$ の恒星の光度 $L$ はシュテファン・ボルツマンの法則により $L=4\pi R^2\sigma T^4$（$\sigma$ は定数）で表されるものとする。恒星 X の半径は太陽の半径の何倍か。

ある銀河のスペクトルを観測したところ、この銀河の後退速度は $1.4\times 10^4\text{km/s}$ であった。ハッブル・ルメートルの法則 $v=H_{0}d$（$v$ は後退速度、$d$ は銀河までの距離）が成り立ち、ハッブル定数を $H_0=70\text{km/(s}\cdot \text{Mpc)}$ とする。この銀河までの距離は何 Mpc（メガパーセク）か。

地球から $1000$ パーセクの距離にある恒星の見かけの等級は $12.0$ 等である。見かけの等級 $m$、絶対等級 $M$、距離 $d$〔パーセク〕の間には
$$m-M=5{\log }_{10}d-5$$
の関係が成り立つものとする。この恒星の絶対等級は何等か。ただし、星間物質による光の吸収はないものとする。

ある銀河の中に、明るさが周期的に変わるセファイド（ケフェウス座 $\delta$ 型変光星）が見つかった。このセファイドの変光周期を測り、周期光度関係を使うと、絶対等級は $-4.0$ 等とわかった。また、このセファイドの見かけの等級（変光の平均の値）は $26.0$ 等であった。見かけの等級 $m$、絶対等級 $M$、距離 $d$〔pc〕の間には $m-M=5{\log }_{10}d-5$ の関係が成り立ち、$1\text{Mpc}=10^6\text{pc}$ とする。星間物質による光の吸収はないものとして、この銀河までの距離は何 Mpc か。

赤く見えるある恒星のスペクトルを調べたところ、放射エネルギーが最も強い波長 ${\lambda }_{\max }$ は $9.7\times 10^{-7}\mathrm{m}$ であった。恒星の表面温度 $T$〔K〕と ${\lambda }_{\max }$〔m〕の間には、ウィーンの変位則
$${\lambda }_{\max }T=2.9\times 10^{-3}\mathrm{m}\cdot \mathrm{K}$$
が成り立つものとする。この恒星の表面温度は何 K か。有効数字 2 桁で答えよ。

ある夜、地上から 2 つの恒星 A, B を観測した。恒星 A の見かけの等級は $1.4$ 等であり、恒星 B の見かけの明るさは恒星 A の $\frac{1}{40}$ 倍であった。

等級が $5$ 小さくなると明るさは $100$ 倍になるものとし、${\log }_{10}2=0.30$ を用いてよい。恒星 B の見かけの等級を小数第 1 位まで求めよ。

2 つの恒星 A, B を観測したところ、次の表の結果が得られた。また、2 つの恒星はスペクトル型も光度階級も同じで、絶対等級は等しいことがわかっている。

等級が $5$ 小さくなると見かけの明るさは $100$ 倍になり、見かけの明るさは距離の $2$ 乗に反比例するものとする。また、年周視差が $p{[}^{\prime \prime }]$ の恒星までの距離は $\frac{1}{p}$ pc である。星間物質による光の吸収は無視でき、${\log }_{10}2=0.30$ とする。

恒星 B までの距離は何 pc か。有効数字 2 桁で求めよ。

太陽と恒星 S のスペクトルを調べたところ、次の表のようになった。

太陽と恒星 S はどちらも黒体とみなせるものとする。ウィーンの変位則より、表面温度 $T$ と ${\lambda }_{\max }$ の間には ${\lambda }_{\max }T=\text{一定}$ の関係がある。また、シュテファン・ボルツマンの法則より、表面の単位面積から毎秒放射されるエネルギーは $\sigma T^4$（$\sigma$ は定数）であり、半径 $R$ の恒星の光度は $L=4\pi R^2\sigma T^4$ と表される。

恒星 S の半径は太陽の半径の何倍か。整数で答えよ。

ある恒星 S を観測し、次の結果を得た。

恒星 S の絶対等級を、小数第 1 位まで求めよ。

ただし、次のことを用いてよい。

• 年周視差が $p{[}^{\prime \prime }]$ の恒星までの距離は $\frac{1}{p}$ pc（パーセク）である。
• 絶対等級は、恒星を $10$ pc の距離に置いたと仮定したときの見かけの等級である。
• 恒星の見かけの明るさは距離の $2$ 乗に反比例する。
• 等級が $5$ 小さくなると明るさは $100$ 倍になる。
• ${\log }_{10}2=0.30$ とする。
• 星間物質による光の吸収は無視する。

いくつかの銀河について、地球からの距離と後退速度を調べたところ、次の表のようになった。

これらの銀河はハッブル・ルメートルの法則（後退速度が距離に比例する）に従っているものとする。表のデータから求めたハッブル定数を用いる。宇宙が誕生してから現在まで、銀河が現在と同じ速さで遠ざかり続けてきたと仮定する。このとき、宇宙の年齢は何年か。有効数字 $2$ 桁で求めよ。ただし、$1\text{Mpc}=3.1\times 10^{19}\text{km}$、$1$ 年 $=3.2\times 10^7$ 秒とする。

同じスペクトル型に属する 2 つの主系列星 P, Q を観測し、次の結果を得た。

スペクトル型が同じ主系列星どうしは絶対等級が等しいものとする。恒星 P までの距離は何 pc（パーセク）か。有効数字 2 桁で求めよ。

ただし、年周視差が $p{[}^{\prime \prime }]$ の恒星までの距離は $\frac{1}{p}$ pc であり、絶対等級は恒星を $10$ pc の距離に置いたときの見かけの等級である。等級が $5$ 小さくなると明るさは $100$ 倍になり、見かけの明るさは距離の 2 乗に反比例する。星間物質による光の吸収は無視し、必要ならば ${\log }_{10}2=0.30$ を用いよ。

ある銀河 A の中に現れた Ia 型超新星の観測から、銀河 A までの距離は $1.5\times 10^2$ Mpc（メガパーセク）と求められた。また、銀河 A のスペクトルを調べたところ、実験室で波長 $600.0\text{nm}$ に現れる吸収線が、波長 $621.0\text{nm}$ に観測された。

銀河 A の後退速度 $v$ は、光の速さを $c$、吸収線のもとの波長を ${\lambda }_0$、波長のずれを $\Delta \lambda$ として $v=c\times \frac{\Delta \lambda }{{\lambda }_0}$ で求められるものとする。銀河の後退速度が距離に比例するというハッブル・ルメートルの法則が成り立ち、その比例定数（ハッブル定数）を銀河 A の観測から決めるとする。宇宙が誕生してから現在まで、すべての銀河が一定の速さで遠ざかってきたと仮定すると、宇宙の年齢は何年か。有効数字 2 桁で求めよ。

ただし、光の速さを $3.0\times 10^5\text{km/s}$、$1\text{Mpc}=3.1\times 10^{19}\text{km}$、$1$ 年 $=3.2\times 10^7\text{s}$ とする。

ある銀河 B の中にセファイド（ケフェウス座δ型変光星）が見つかり、その変光周期は $30$ 日、平均の見かけの等級は $25.0$ 等であった。セファイドの周期光度関係から、変光周期が $30$ 日のセファイドの平均の絶対等級は $-5.0$ 等であることがわかっている。

また、銀河 B のスペクトルを調べたところ、実験室で波長 $500.0\text{nm}$ に現れる吸収線が、波長 $501.2\text{nm}$ に観測された。

次の値と関係を用いてよい。

• 見かけの等級 $m$、絶対等級 $M$、距離 $d$〔pc〕の間には $m-M=5{\log }_{10}d-5$ が成り立つ。
• 後退速度 $v$ は光の速さより十分小さく、波長のずれ $\Delta \lambda$ と元の波長 ${\lambda }_0$ を用いて $v=c\frac{\Delta \lambda }{{\lambda }_0}$ で求められる。
• 星間吸収は無視し、銀河 B の後退速度はすべて宇宙膨張によるものとする。

銀河 B の距離と後退速度からハッブル定数 $H_0$ を求め、宇宙が誕生してから現在まで一定の速さで膨張してきたと仮定して、宇宙の年齢を $\frac{1}{H_0}$ で見積もる。宇宙の年齢は何年か。有効数字 $2$ 桁で答えよ。

ある散開星団を観測した。この星団に含まれる恒星は、次の 2 種類だけであることがわかっている。

星団全体の光をまとめて測ったところ、星団全体の見かけの等級は $9.55$ 等であった。

等級が $5$ 小さくなると明るさは $100$ 倍になる。絶対等級は、恒星を地球から $10$ pc の距離に置いたときの見かけの等級であり、見かけの明るさは距離の $2$ 乗に反比例する。星団内の恒星はすべて地球から同じ距離にあるとみなし、星間物質による光の吸収は無視する。また、${\log }_{10}2=0.30$ とする。

この星団までの距離は何 pc か。有効数字 $2$ 桁で求めよ。

ある実視連星は、恒星 A と恒星 B が共通重心のまわりを同じ周期で公転している。観測の結果は次の表のとおりである。

ただし、2 つの恒星はともに共通重心を中心とする円軌道を描き、公転軌道面は視線方向に垂直であるとする。年周視差が $p^{\prime \prime }$ の天体までの距離は $\frac{1}{p}$ pc であり、$d$ pc の距離にある天体で角度 ${\theta }^{\prime \prime }$ に見える長さは $\theta d$ 天文単位であるとする。また、2 つの恒星間の距離を $a$ 天文単位、公転周期を $T$ 年、2 つの恒星の質量を太陽質量を単位として $M_A$, $M_B$ とすると、ケプラーの第 3 法則より
$$M_A+M_B=\frac{a^3}{T^2}$$
が成り立つ。さらに、共通重心からの距離と質量について $M_A{r}_A=M_B{r}_B$（$r_A$, $r_B$ はそれぞれ共通重心から恒星 A, B までの距離）が成り立つ。

恒星 A の質量は太陽質量の何倍か。整数で答えよ。

ある渦巻銀河 G の中にセファイド（ケフェウス座δ型変光星）を見つけ、その変光周期を測った。周期光度関係から、このセファイドの絶対等級は $-4.0$ 等と求められた。また、このセファイドの平均の見かけの等級は $27.5$ 等であった。

さらに、銀河 G のスペクトルを調べたところ、実験室で波長 $600.0\text{nm}$ の吸収線が、$602.8\text{nm}$ に観測された。

次の数値と仮定を用いて、宇宙の年齢を求めよ。

• 距離 $d$ [pc] の天体の見かけの等級 $m$ と絶対等級 $M$ の間には $m-M=5{\log }_{10}d-5$ の関係がある。星間物質による吸収は無視する
• ${\log }_{10}2=0.30$ とする
• 光の速さ $c=3.0\times 10^5\text{km/s}$、$1\text{Mpc}=10^6\text{pc}=3.1\times 10^{19}\text{km}$、$1$ 年 $=3.15\times 10^7\text{s}$ とする
• 後退速度 $v$ は光の速さに比べて十分小さく、$v=c\times \frac{\Delta \lambda }{{\lambda }_0}$（${\lambda }_0$ は本来の波長、$\Delta \lambda$ は波長のずれ）で求められるものとする
• 銀河 G の運動は宇宙膨張による後退のみとし、ハッブル・ルメートルの法則 $v=H_{0}d$ が成り立つとする
• 宇宙は誕生以来一定の速さで膨張してきたとみなし、宇宙の年齢を $\frac{1}{H_0}$ で見積もる

宇宙の年齢は何年か。有効数字 $2$ 桁で答えよ。

地球から $40$ pc の距離にある食連星を観測した。この食連星は恒星 A と恒星 B からなり、望遠鏡では 2 つの恒星を分離して見ることができない。そのため、2 つの恒星の光を合わせた見かけの等級が観測される。観測結果は次の表のとおりであった。

恒星 B が隠れている間も、恒星 A から届く光の量は変わらないものとする。

等級が $5$ 小さくなると明るさは $100$ 倍になる。また、見かけの明るさは距離の $2$ 乗に反比例する。絶対等級は、恒星を $10$ pc の距離に置いたときの見かけの等級である。星間物質による光の吸収は無視し、必要であれば ${\log }_{10}2=0.30$、${\log }_{10}3=0.48$ を用いよ。

恒星 B の絶対等級を、小数第 $2$ 位を四捨五入して小数第 $1$ 位まで求めよ。

ある実視連星は恒星 A と恒星 B からなり、2 つの恒星は共通重心のまわりを円軌道で公転している。軌道面は視線方向に垂直であるとする。この連星を長期間観測したところ、次の結果が得られた。

ここで、年周視差が $p^{\prime \prime }$ の天体までの距離は $\frac{1}{p}$ パーセクであり、距離 $d$ パーセクの天体で角度 $1^{\prime \prime }$ に見える長さは $d$ 天文単位であるとする。また、連星の質量の和を $M$（太陽質量を単位とする）、2 つの恒星間の距離を $a$（天文単位）、公転周期を $P$（年）とすると、ケプラーの第 3 法則より $\frac{a^3}{P^2}=M$ が成り立つ。

恒星 A の質量は太陽質量の何倍か。有効数字 2 桁で求めよ。

同じ散開星団に属する 2 つの恒星 A, B を観測し、次の結果を得た。

この表の見かけの等級は、すべての波長の放射エネルギーをもとにした等級である。星団の大きさは地球から星団までの距離に比べて十分小さいので、A と B の地球からの距離は等しいとみなす。星間物質による吸収は無視し、恒星は黒体とみなして球形とする。

等級が $5$ 小さくなると、見かけの明るさは $100$ 倍になる。また、黒体について次の 2 つの法則が成り立つ。

• ウィーンの変位則：${\lambda }_{\max }T$ は一定（$T$ は表面温度）
• シュテファン・ボルツマンの法則：表面の単位面積から単位時間に放射されるエネルギーは $\sigma T^4$（$\sigma$ は定数）

恒星 B の半径は恒星 A の半径の何倍か。必要なら $\sqrt{10}=3.16$ を用いて、有効数字 2 桁で求めよ。

ある恒星 X を観測したところ、次のことがわかった。

また、太陽の絶対等級は $4.8$ 等、表面温度は $5800$ K である。

恒星や太陽は黒体とみなし、ウィーンの変位則 ${\lambda }_{\max }T=2.9\times 10^{-3}\text{m}\cdot \text{K}$（$T$ は表面温度）が成り立つものとする。恒星の光度 $L$ は、半径を $R$、表面温度を $T$ として $L=4\pi R^2\sigma T^4$（$\sigma$ はシュテファン・ボルツマン定数）で表される。等級が $5$ 小さくなると明るさは $100$ 倍になり、距離 $d$ [pc] の恒星の見かけの等級 $m$ と絶対等級 $M$ の間には $M=m+5-5{\log }_{10}d$ の関係がある。星間物質による光の吸収は無視し、$\sqrt{10}=3.16$ を用いてよい。

恒星 X の半径は太陽の半径の何倍か。有効数字 2 桁で求めよ。