恒星と宇宙の問題

見かけの等級が $1.5$ 等の恒星 A と、$4.0$ 等の恒星 B がある。等級が $5$ 等小さくなると見かけの明るさは $100$ 倍になるものとする。恒星 A の見かけの明るさは、恒星 B の見かけの明るさの何倍か。

恒星 A と恒星 B は、本来の明るさ（絶対等級）が等しい。地球から見ると、恒星 A の見かけの等級は $2.0$ 等、恒星 B の見かけの等級は $7.0$ 等であった。恒星 B までの距離は、恒星 A までの距離の何倍か。ただし、等級が $5$ 等小さくなると見かけの明るさは $100$ 倍になり、見かけの明るさは恒星までの距離の $2$ 乗に反比例するものとする。また、星間物質による光の吸収はないものとする。

地球から $1000$ パーセクの距離にある恒星の見かけの等級は $12.0$ 等である。見かけの等級 $m$、絶対等級 $M$、距離 $d$〔パーセク〕の間には
$$m-M=5{\log }_{10}d-5$$
の関係が成り立つものとする。この恒星の絶対等級は何等か。ただし、星間物質による光の吸収はないものとする。

ある夜、地上から 2 つの恒星 A, B を観測した。恒星 A の見かけの等級は $1.4$ 等であり、恒星 B の見かけの明るさは恒星 A の $\frac{1}{40}$ 倍であった。

等級が $5$ 小さくなると明るさは $100$ 倍になるものとし、${\log }_{10}2=0.30$ を用いてよい。恒星 B の見かけの等級を小数第 1 位まで求めよ。

同じスペクトル型に属する 2 つの主系列星 P, Q を観測し、次の結果を得た。

スペクトル型が同じ主系列星どうしは絶対等級が等しいものとする。恒星 P までの距離は何 pc（パーセク）か。有効数字 2 桁で求めよ。

ただし、年周視差が $p{[}^{\prime \prime }]$ の恒星までの距離は $\frac{1}{p}$ pc であり、絶対等級は恒星を $10$ pc の距離に置いたときの見かけの等級である。等級が $5$ 小さくなると明るさは $100$ 倍になり、見かけの明るさは距離の 2 乗に反比例する。星間物質による光の吸収は無視し、必要ならば ${\log }_{10}2=0.30$ を用いよ。