恒星と宇宙の問題

ある銀河の中に、明るさが周期的に変わるセファイド（ケフェウス座 $\delta$ 型変光星）が見つかった。このセファイドの変光周期を測り、周期光度関係を使うと、絶対等級は $-4.0$ 等とわかった。また、このセファイドの見かけの等級（変光の平均の値）は $26.0$ 等であった。見かけの等級 $m$、絶対等級 $M$、距離 $d$〔pc〕の間には $m-M=5{\log }_{10}d-5$ の関係が成り立ち、$1\text{Mpc}=10^6\text{pc}$ とする。星間物質による光の吸収はないものとして、この銀河までの距離は何 Mpc か。

恒星 A と恒星 B は、本来の明るさ（絶対等級）が等しい。地球から見ると、恒星 A の見かけの等級は $2.0$ 等、恒星 B の見かけの等級は $7.0$ 等であった。恒星 B までの距離は、恒星 A までの距離の何倍か。ただし、等級が $5$ 等小さくなると見かけの明るさは $100$ 倍になり、見かけの明るさは恒星までの距離の $2$ 乗に反比例するものとする。また、星間物質による光の吸収はないものとする。

ある星団は、見かけの等級がどれも $8$ 等の恒星 $100$ 個だけからなる。この星団全体を $1$ つの天体として見たときの見かけの等級は何等か。ただし、星団全体の見かけの明るさは、個々の恒星の見かけの明るさの和に等しいものとし、等級が $5$ 等小さくなると見かけの明るさは $100$ 倍になるものとする。

ある恒星 S を観測し、次の結果を得た。

恒星 S の絶対等級を、小数第 1 位まで求めよ。

ただし、次のことを用いてよい。

• 年周視差が $p{[}^{\prime \prime }]$ の恒星までの距離は $\frac{1}{p}$ pc（パーセク）である。
• 絶対等級は、恒星を $10$ pc の距離に置いたと仮定したときの見かけの等級である。
• 恒星の見かけの明るさは距離の $2$ 乗に反比例する。
• 等級が $5$ 小さくなると明るさは $100$ 倍になる。
• ${\log }_{10}2=0.30$ とする。
• 星間物質による光の吸収は無視する。

赤く見えるある恒星のスペクトルを調べたところ、放射エネルギーが最も強い波長 ${\lambda }_{\max }$ は $9.7\times 10^{-7}\mathrm{m}$ であった。恒星の表面温度 $T$〔K〕と ${\lambda }_{\max }$〔m〕の間には、ウィーンの変位則
$${\lambda }_{\max }T=2.9\times 10^{-3}\mathrm{m}\cdot \mathrm{K}$$
が成り立つものとする。この恒星の表面温度は何 K か。有効数字 2 桁で答えよ。