恒星と宇宙の問題

ある散開星団を観測した。この星団に含まれる恒星は、次の 2 種類だけであることがわかっている。

星団全体の光をまとめて測ったところ、星団全体の見かけの等級は $9.55$ 等であった。

等級が $5$ 小さくなると明るさは $100$ 倍になる。絶対等級は、恒星を地球から $10$ pc の距離に置いたときの見かけの等級であり、見かけの明るさは距離の $2$ 乗に反比例する。星団内の恒星はすべて地球から同じ距離にあるとみなし、星間物質による光の吸収は無視する。また、${\log }_{10}2=0.30$ とする。

この星団までの距離は何 pc か。有効数字 $2$ 桁で求めよ。

ある恒星 S を観測し、次の結果を得た。

恒星 S の絶対等級を、小数第 1 位まで求めよ。

ただし、次のことを用いてよい。

• 年周視差が $p{[}^{\prime \prime }]$ の恒星までの距離は $\frac{1}{p}$ pc（パーセク）である。
• 絶対等級は、恒星を $10$ pc の距離に置いたと仮定したときの見かけの等級である。
• 恒星の見かけの明るさは距離の $2$ 乗に反比例する。
• 等級が $5$ 小さくなると明るさは $100$ 倍になる。
• ${\log }_{10}2=0.30$ とする。
• 星間物質による光の吸収は無視する。

同じスペクトル型に属する 2 つの主系列星 P, Q を観測し、次の結果を得た。

スペクトル型が同じ主系列星どうしは絶対等級が等しいものとする。恒星 P までの距離は何 pc（パーセク）か。有効数字 2 桁で求めよ。

ただし、年周視差が $p{[}^{\prime \prime }]$ の恒星までの距離は $\frac{1}{p}$ pc であり、絶対等級は恒星を $10$ pc の距離に置いたときの見かけの等級である。等級が $5$ 小さくなると明るさは $100$ 倍になり、見かけの明るさは距離の 2 乗に反比例する。星間物質による光の吸収は無視し、必要ならば ${\log }_{10}2=0.30$ を用いよ。

2 つの恒星 A, B を観測したところ、次の表の結果が得られた。また、2 つの恒星はスペクトル型も光度階級も同じで、絶対等級は等しいことがわかっている。

等級が $5$ 小さくなると見かけの明るさは $100$ 倍になり、見かけの明るさは距離の $2$ 乗に反比例するものとする。また、年周視差が $p{[}^{\prime \prime }]$ の恒星までの距離は $\frac{1}{p}$ pc である。星間物質による光の吸収は無視でき、${\log }_{10}2=0.30$ とする。

恒星 B までの距離は何 pc か。有効数字 2 桁で求めよ。

同じ散開星団に属する 2 つの恒星 A, B を観測し、次の結果を得た。

この表の見かけの等級は、すべての波長の放射エネルギーをもとにした等級である。星団の大きさは地球から星団までの距離に比べて十分小さいので、A と B の地球からの距離は等しいとみなす。星間物質による吸収は無視し、恒星は黒体とみなして球形とする。

等級が $5$ 小さくなると、見かけの明るさは $100$ 倍になる。また、黒体について次の 2 つの法則が成り立つ。

• ウィーンの変位則：${\lambda }_{\max }T$ は一定（$T$ は表面温度）
• シュテファン・ボルツマンの法則：表面の単位面積から単位時間に放射されるエネルギーは $\sigma T^4$（$\sigma$ は定数）

恒星 B の半径は恒星 A の半径の何倍か。必要なら $\sqrt{10}=3.16$ を用いて、有効数字 2 桁で求めよ。