赤方偏移と後退速度

実験室で波長 $500.0\text{nm}$ に観測されるあるスペクトル線が、ある銀河のスペクトルでは波長 $506.0\text{nm}$ に観測された。光の速さを $c=3.0\times 10^5\text{km/s}$ とし、後退速度 $v$ は光の速さに比べて十分小さく、$v=c\frac{\Delta \lambda }{{\lambda }_0}$（${\lambda }_0$ は実験室での波長、$\Delta \lambda$ は波長のずれ）が成り立つものとする。この銀河の後退速度は何 km/s か。

ある銀河 A の中に現れた Ia 型超新星の観測から、銀河 A までの距離は $1.5\times 10^2$ Mpc（メガパーセク）と求められた。また、銀河 A のスペクトルを調べたところ、実験室で波長 $600.0\text{nm}$ に現れる吸収線が、波長 $621.0\text{nm}$ に観測された。

銀河 A の後退速度 $v$ は、光の速さを $c$、吸収線のもとの波長を ${\lambda }_0$、波長のずれを $\Delta \lambda$ として $v=c\times \frac{\Delta \lambda }{{\lambda }_0}$ で求められるものとする。銀河の後退速度が距離に比例するというハッブル・ルメートルの法則が成り立ち、その比例定数（ハッブル定数）を銀河 A の観測から決めるとする。宇宙が誕生してから現在まで、すべての銀河が一定の速さで遠ざかってきたと仮定すると、宇宙の年齢は何年か。有効数字 2 桁で求めよ。

ただし、光の速さを $3.0\times 10^5\text{km/s}$、$1\text{Mpc}=3.1\times 10^{19}\text{km}$、$1$ 年 $=3.2\times 10^7\text{s}$ とする。

ある銀河 B の中にセファイド（ケフェウス座δ型変光星）が見つかり、その変光周期は $30$ 日、平均の見かけの等級は $25.0$ 等であった。セファイドの周期光度関係から、変光周期が $30$ 日のセファイドの平均の絶対等級は $-5.0$ 等であることがわかっている。

また、銀河 B のスペクトルを調べたところ、実験室で波長 $500.0\text{nm}$ に現れる吸収線が、波長 $501.2\text{nm}$ に観測された。

次の値と関係を用いてよい。

• 見かけの等級 $m$、絶対等級 $M$、距離 $d$〔pc〕の間には $m-M=5{\log }_{10}d-5$ が成り立つ。
• 後退速度 $v$ は光の速さより十分小さく、波長のずれ $\Delta \lambda$ と元の波長 ${\lambda }_0$ を用いて $v=c\frac{\Delta \lambda }{{\lambda }_0}$ で求められる。
• 星間吸収は無視し、銀河 B の後退速度はすべて宇宙膨張によるものとする。

銀河 B の距離と後退速度からハッブル定数 $H_0$ を求め、宇宙が誕生してから現在まで一定の速さで膨張してきたと仮定して、宇宙の年齢を $\frac{1}{H_0}$ で見積もる。宇宙の年齢は何年か。有効数字 $2$ 桁で答えよ。

ある渦巻銀河 G の中にセファイド（ケフェウス座δ型変光星）を見つけ、その変光周期を測った。周期光度関係から、このセファイドの絶対等級は $-4.0$ 等と求められた。また、このセファイドの平均の見かけの等級は $27.5$ 等であった。

さらに、銀河 G のスペクトルを調べたところ、実験室で波長 $600.0\text{nm}$ の吸収線が、$602.8\text{nm}$ に観測された。

次の数値と仮定を用いて、宇宙の年齢を求めよ。

• 距離 $d$ [pc] の天体の見かけの等級 $m$ と絶対等級 $M$ の間には $m-M=5{\log }_{10}d-5$ の関係がある。星間物質による吸収は無視する
• ${\log }_{10}2=0.30$ とする
• 光の速さ $c=3.0\times 10^5\text{km/s}$、$1\text{Mpc}=10^6\text{pc}=3.1\times 10^{19}\text{km}$、$1$ 年 $=3.15\times 10^7\text{s}$ とする
• 後退速度 $v$ は光の速さに比べて十分小さく、$v=c\times \frac{\Delta \lambda }{{\lambda }_0}$（${\lambda }_0$ は本来の波長、$\Delta \lambda$ は波長のずれ）で求められるものとする
• 銀河 G の運動は宇宙膨張による後退のみとし、ハッブル・ルメートルの法則 $v=H_{0}d$ が成り立つとする
• 宇宙は誕生以来一定の速さで膨張してきたとみなし、宇宙の年齢を $\frac{1}{H_0}$ で見積もる

宇宙の年齢は何年か。有効数字 $2$ 桁で答えよ。