スケール因子と宇宙論的赤方偏移

一様等方に膨張する宇宙で、遠方の銀河から放出された水素のライマン $\alpha$ 線（放出時の波長 $121.6\text{nm}$）が、現在の地球で波長 $486.4\text{nm}$ として観測された。観測された波長の伸びはすべて宇宙論的赤方偏移によるもの（銀河の固有運動や重力による偏移はない）とし、赤方偏移 $z$ は観測波長 ${\lambda }_{\text{obs}}$ と放出時の波長 ${\lambda }_{\text{emit}}$ により $1+z=\frac{{\lambda }_{\text{obs}}}{{\lambda }_{\text{emit}}}$ で定める。スケール因子を $a$（現在の値を $a_0$）とすると、$1+z=\frac{a_0}{a}$ が成り立つ。ここで $a$ は光が放出されたときのスケール因子である。また、宇宙の物質（非相対論的な物質）の平均密度 $\rho$ は $\rho \propto a^{-3}$ にしたがって変化するとする。この光が放出されたときの宇宙の物質の平均密度は、現在の物質の平均密度の何倍か。正確な値で求めよ。

空間的に平坦（曲率 $k=0$）で宇宙項がなく、圧力の無視できる物質（ダスト）だけを含む一様等方な宇宙を考える。スケール因子を $a(t)$、ハッブルパラメータを $H=\dot{a}/a$、物質の密度を $\rho$、万有引力定数を $G$ とすると、フリードマン方程式は
$$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho$$
で与えられ、物質の密度は $\rho \propto a^{-3}$ にしたがって変化する。現在のスケール因子を $a_0$、現在のハッブル定数を $H_0$ とする。

スケール因子が $a=\frac{a_0}{4}$ であった時刻における、宇宙の臨界密度 ${\rho }_{\mathrm{c}}=\frac{3H^2}{8\pi G}$ を、$H_0$ と $G$ を用いて表せ。

空間的に平坦な一様等方宇宙が、圧力の無視できる物質（ダスト）と宇宙項 $\Lambda$（$\Lambda >0$）だけを含むとする。スケール因子を $a(t)$（現在 $a=1$）、万有引力定数を $G$、光速を $c$、物質の質量密度を ${\rho }_m$ とし、物質の質量は保存されるので ${\rho }_m\propto a^{-3}$ である。スケール因子は加速方程式
$$\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}{\rho }_m+\frac{\Lambda c^2}{3}$$
に従う。現在のハッブルパラメータを $H_0$、臨界密度を ${\rho }_{\mathrm{c}}=\frac{3H_0^2}{8\pi G}$ とし、現在の物質の密度パラメータを ${\Omega }_m=\frac{{\rho }_{m,0}}{{\rho }_{\mathrm{c}}}=\frac{1}{4}$、宇宙項の密度パラメータを ${\Omega }_{\Lambda }=\frac{\Lambda c^2}{3H_0^2}=\frac{3}{4}$ とする（${\rho }_{m,0}$ は現在の物質の密度）。宇宙の膨張が減速から加速に転じた時刻（$\ddot{a}=0$ となる時刻）に放出され、現在観測される光の赤方偏移 $z$ を、根号を用いた正確な値で求めよ。ただし $1+z=\frac{1}{a}$ である。

一様等方に膨張する宇宙を考える。現在の宇宙マイクロ波背景放射（CMB）は温度 $T_0$ の黒体放射であり、現在の物質（圧力の無視できる非相対論的物質）の質量密度を ${\rho }_0$ とする。光速を $c$、シュテファン・ボルツマン定数を $\sigma$ とし、温度 $T$ の黒体放射のエネルギー密度は $u=\frac{4\sigma }{c}{T}^4$ で与えられるものとする。

宇宙の膨張にともない、スケール因子を $a$ とすると、物質の質量密度は $a^{-3}$ に比例して変化し、CMB は黒体放射のスペクトルを保ったまま、その温度が $a^{-1}$ に比例して下がるとする。放射成分としては CMB の光子のみを考え（ニュートリノなどは無視する）、物質と放射の間のエネルギーのやりとりはないものとする。

物質のエネルギー密度 $\rho c^2$ と CMB のエネルギー密度 $u$ が等しかった時刻（物質・放射等密度時）における CMB の温度 $T_{\mathrm{eq}}$ を、${\rho }_0,c,\sigma ,T_0$ を用いて表せ。

一様等方に膨張する宇宙で、宇宙の晴れ上がり以後の宇宙マイクロ波背景放射（CMB）を考える。晴れ上がり以後、CMB の光子は物質と相互作用せずに自由に伝わり、各光子の振動数は宇宙膨張によってスケール因子に反比例して変化するものとする。現在（赤方偏移 $z=0$）の CMB は温度 $T_0$ の黒体放射である。

温度 $T$ の黒体放射の、単位体積・単位振動数あたりのエネルギー密度は
$$u_{\nu }(T)=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu /k_{\mathrm{B}}T}-1}$$
である（$h$ はプランク定数、$k_{\mathrm{B}}$ はボルツマン定数、$c$ は光速）。必要なら ${\int }_0^{\infty }\frac{x^3}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^4}{15}$ を用いてよい。

赤方偏移 $z$（$z\ge 0$）にある、宇宙膨張とともに動くガス雲を考える。このガス雲の静止系で測ったとき、その時刻の CMB の全エネルギー密度のうち、振動数が ${\nu }_c$ 未満の光子が担う割合を $F$ とする。$x_0=\frac{h{\nu }_c}{k_{\mathrm{B}}{T}_0}$ とおき、$\frac{x_0}{1+z}\ll 1$ であるとして、$F$ を $\frac{x_0}{1+z}$ のべきで展開したときの、最も低い次数の項とその次の項の和を、$x_0$, $z$ を用いて表せ。