宇宙物理・宇宙論

2 つの恒星 A, B からなる食連星がある。A の半径は $R_{\mathrm{A}}=4R$、表面温度は $T_{\mathrm{A}}=T$、B の半径は $R_{\mathrm{B}}=3R$、表面温度は $T_{\mathrm{B}}=2T$ である（$R,T$ は正の定数）。軌道面は視線方向を含み、B が A の真後ろに入ると、B の円板は A に完全に隠される。

各星は一様な明るさの円板に見えるものとし、地球に届く各星からの放射流束は、見かけの円板の面積と表面輝度 $\sigma T^4$（$\sigma$ はシュテファン・ボルツマン定数）の積に比例するとする。

食が起きていないときの放射流束を $F_0$、B が A に完全に隠されているときの放射流束を $F_{\text{食}}$ とする。このときの等級の増加
$$\Delta m=-2.5{\log }_{10}\frac{F_{\text{食}}}{F_0}$$
を求めよ。

恒星 A, B からなる実視連星がある。B に対する A の相対軌道は楕円で、その長半径は $a=20\text{au}$、公転周期は $P=40$ 年である。また、2 つの星の共通重心のまわりの運動を観測したところ、A の速さ $v_{\mathrm{A}}$ と B の速さ $v_{\mathrm{B}}$ の比はつねに $v_{\mathrm{A}}:v_{\mathrm{B}}=2:3$ であった。

ケプラーの第 3 法則 $\frac{a^3}{P^2}=\frac{G(m_{\mathrm{A}}+m_{\mathrm{B}})}{4{\pi }^2}$（$G$ は万有引力定数）は、長さを au、時間を年、質量を太陽質量 $M_{\odot }$ で測ると
$$\frac{a^3}{P^2}=m_{\mathrm{A}}+m_{\mathrm{B}}$$
と書ける。

A の質量 $m_{\mathrm{A}}$ と B の質量 $m_{\mathrm{B}}$ は、それぞれ太陽質量の何倍か。$(m_{\mathrm{A}},m_{\mathrm{B}})$ の組で答えよ。

半径 $R$ の球対称な星があり、その密度は星の内部のどこでも一定値 ${\rho }_0$ であるとする。星は静水圧平衡にあり、中心からの距離 $r$ における圧力 $P(r)$ は
$$\frac{dP}{dr}=-\frac{GM(r)\rho (r)}{r^2},M(r)={\int }_0^{r}4\pi r^{\prime 2}\rho (r^{\prime })d{r}^{\prime }$$
を満たす。ここで $G$ は万有引力定数、$M(r)$ は半径 $r$ の球の内側にある質量である。星の表面 $r=R$ で圧力は $0$ とする。このとき、星の中心 $r=0$ での圧力 $P_c$ を $G$, ${\rho }_0$, $R$ を用いて表せ。

質量 $M$ の球対称で回転していないブラックホールがある。万有引力定数を $G$、真空中の光速を $c$ とする。ブラックホールの中心から距離 $r=\frac{8GM}{3c^2}$ の位置に静止している光源が光を出し、その光を十分遠方（無限遠とみなせる）に静止している観測者が受け取る。シュヴァルツシルト半径を $r_s=\frac{2GM}{c^2}$ とし、静止した光源からの光の重力赤方偏移 $z$ は
$$1+z={\left(1-\frac{r_s}{r}\right)}^{-1/2}$$
で与えられるものとする。このときの赤方偏移 $z$ の値を求めよ。

一様等方に膨張する宇宙で、遠方の銀河から放出された水素のライマン $\alpha$ 線（放出時の波長 $121.6\text{nm}$）が、現在の地球で波長 $486.4\text{nm}$ として観測された。観測された波長の伸びはすべて宇宙論的赤方偏移によるもの（銀河の固有運動や重力による偏移はない）とし、赤方偏移 $z$ は観測波長 ${\lambda }_{\text{obs}}$ と放出時の波長 ${\lambda }_{\text{emit}}$ により $1+z=\frac{{\lambda }_{\text{obs}}}{{\lambda }_{\text{emit}}}$ で定める。スケール因子を $a$（現在の値を $a_0$）とすると、$1+z=\frac{a_0}{a}$ が成り立つ。ここで $a$ は光が放出されたときのスケール因子である。また、宇宙の物質（非相対論的な物質）の平均密度 $\rho$ は $\rho \propto a^{-3}$ にしたがって変化するとする。この光が放出されたときの宇宙の物質の平均密度は、現在の物質の平均密度の何倍か。正確な値で求めよ。

温度 $T$ の黒体放射（宇宙マイクロ波背景放射など）を考える。プランク定数を $h$、ボルツマン定数を $k_B$ とし、$x=\frac{h\nu }{k_{B}T}$ と置くと、振動数あたりのエネルギー密度は
$$u_{\nu }d\nu \propto \frac{x^3}{e^x-1}dx$$
と表される。また ${\int }_0^{\infty }\frac{x^3}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^4}{15}$ である。

振動数 $0$ から ${\nu }_1$ までの低振動数の帯域を考え、$x_1=\frac{h{\nu }_1}{k_{B}T}=\frac{1}{10}$ とする。この帯域の放射が担うエネルギーが、放射の全エネルギーに占める割合 $f$ を、$x\ll 1$ で $\frac{1}{e^x-1}\approx \frac{1}{x}$ と近似した最低次の近似で求めよ。答えは $\pi$ を含む正確な形で書け。

ある慣性系 $S$ では、宇宙背景放射が温度 $T_0$ の等方的な黒体放射になっている。この系 $S$ に対して速さ $v=\frac{3}{5}c$（$c$ は真空中の光速）で等速直線運動する観測者を考える。観測者の静止系で、観測者の進行方向と観測者が見る向き（視線の向き）とのなす角を ${\theta }^{\prime }$ とすると、その向きに見える放射も黒体放射であり、その温度は
$$T^{\prime }({\theta }^{\prime })=\frac{T_0\sqrt{1-{\beta }^2}}{1-\beta \cos {\theta }^{\prime }},\beta =\frac{v}{c}$$
で与えられる。観測者が真正面（${\theta }^{\prime }=0$）に見る放射の温度は、真後ろ（${\theta }^{\prime }=\pi$）に見る放射の温度の何倍か。正確な値で求めよ。

質量 $M$、半径 $R$ の球対称な星があり、密度は星の内部のどこでも一様であるとする。星は静水圧平衡にあり、表面 $r=R$ で圧力は $0$ である。万有引力定数を $G$ とする。

星の重力エネルギーは
$$U=-{\int }_0^M\frac{GM(r)}{r}dm$$
（$M(r)$ は半径 $r$ の内側の質量、$dm=4\pi r^2\rho dr$）で定義され、静水圧平衡からビリアル定理
$$3{\int }_0^{V}PdV=-U$$
が成り立つ（$V$ は星の体積、$dV=4\pi r^{2}dr$）。このとき、星の体積平均圧力 $⟨P⟩=\frac{1}{V}{\int }_0^{V}PdV$ を $G$, $M$, $R$ を用いて表せ。

空間的に平坦で、物質（圧力が無視できる非相対論的な物質）だけを含む宇宙を考える。スケール因子を $a(t)$、ハッブル・パラメータを $H=\frac{1}{a}\frac{da}{dt}$ とし、宇宙の膨張はフリードマン方程式
$$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho$$
にしたがうとする（$G$ は万有引力定数、$\rho$ は物質の密度）。物質の密度は $\rho \propto a^{-3}$ で変化し、時刻 $t=0$ で $a=0$ とする。現在のスケール因子を $a_0$、現在のハッブル定数を $H_0$ とする。

スケール因子が現在の $\frac{1}{4}$ であった時刻（赤方偏移 $z=3$ の時刻）$t$ を $H_0$ を用いて表せ。

膨張する宇宙の中で、宇宙とともに膨張する（共動の）領域に閉じこめられた光子気体を考える。この領域の体積はスケール因子 $a$ を用いて $V\propto a^3$ と変化し、光子気体は外部と熱のやりとりをせずに準静的に（断熱的に）膨張するとする。光子気体のエネルギー密度・圧力・エントロピーは、温度 $T$ と体積 $V$ を用いて
$$u=\frac{4\sigma }{c}{T}^4,p=\frac{u}{3},S=\frac{4}{3}\frac{u}{T}V$$
で与えられる（$\sigma$ はシュテファン・ボルツマン定数、$c$ は真空中の光速）。

はじめ、この領域の体積は $V_1$、光子気体の温度は $T_1$ であった。その後スケール因子が $2$ 倍になるまで宇宙が膨張した。この間に、領域内の光子気体が外部にした仕事 $W=\int pdV$ を $\sigma$, $c$, $T_1$, $V_1$ を用いて表せ。

空間的に平坦で、放射・物質・宇宙項を含む宇宙を考える。現在のスケール因子を $a_0=1$ とし、ハッブル・パラメータ $H$ はスケール因子 $a$ の関数として
$$H(a{)}^2=H_0^2\left({\Omega }_r{a}^{-4}+{\Omega }_m{a}^{-3}+{\Omega }_{\Lambda }\right)$$
と表されるとする。ここで $H_0$ は現在のハッブル定数、${\Omega }_r$, ${\Omega }_m$, ${\Omega }_{\Lambda }$ はそれぞれ放射・物質・宇宙項の現在の密度パラメータである。

${\Omega }_m=0.30$, ${\Omega }_r=1.0\times 10^{-4}$ として、放射のエネルギー密度と物質のエネルギー密度が等しくなる時期（物質・放射等密度時）の赤方偏移 $z_{\mathrm{eq}}$ を求めよ。ただし赤方偏移は $1+z=\frac{1}{a}$ で定める。答えは整数で答えよ。

初期宇宙を模した次のモデルを考える。自然単位系（$\hslash =c=k_B=1$）を用いる。

ある時刻に、光子（内部自由度 $g_{\gamma }=2$）と、フェルミ粒子 $X$ とその反粒子 $\bar{X}$（内部自由度は 2 つ合わせて $g_X=2$）が、温度 $T_1$ の熱平衡にあり、どれも相対論的である。また、別の軽い粒子 $Y$ はこの時刻にはすでにほかの粒子との相互作用を断っており（脱結合しており）、その温度もちょうど $T_1$ である。

その後、宇宙の膨張で温度が下がると、$X$ と $\bar{X}$ はすべて対消滅して光子になり、そのエントロピーはすべて光子に移る。$Y$ はこの過程に関わらず、その温度はスケール因子 $a$ に反比例して下がる（$T_Y\propto a^{-1}$）。

相対論的粒子のエントロピー密度は $s=\frac{2{\pi }^2}{45}{g}_{\text{eff}}{T}^3$（$g_{\text{eff}}$ はボース粒子の内部自由度の和に、フェルミ粒子の内部自由度の和の $\frac{7}{8}$ 倍を加えたもの）で与えられ、光子と $X$, $\bar{X}$ からなる系の共動体積あたりのエントロピー $s{a}^3$ は保存されるとする。

対消滅が終わった後の、$Y$ の温度 $T_Y$ と光子の温度 $T_{\gamma }$ の比 $\frac{T_Y}{T_{\gamma }}$ を求めよ。

空間的に平坦（曲率 $k=0$）で宇宙項がなく、圧力の無視できる物質（ダスト）だけを含む一様等方な宇宙を考える。スケール因子を $a(t)$、ハッブルパラメータを $H=\dot{a}/a$、物質の密度を $\rho$、万有引力定数を $G$ とすると、フリードマン方程式は
$$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho$$
で与えられ、物質の密度は $\rho \propto a^{-3}$ にしたがって変化する。現在のスケール因子を $a_0$、現在のハッブル定数を $H_0$ とする。

スケール因子が $a=\frac{a_0}{4}$ であった時刻における、宇宙の臨界密度 ${\rho }_{\mathrm{c}}=\frac{3H^2}{8\pi G}$ を、$H_0$ と $G$ を用いて表せ。

同じ星団に属し、地球からの距離が等しいとみなせる 2 つの恒星 A, B がある。恒星 B の有効温度は恒星 A の有効温度のちょうど $\frac{1}{2}$ であり、恒星 B の（全波長で測った）見かけの等級は恒星 A より $5$ 等だけ小さい（明るい）。

恒星はいずれも半径 $R$、有効温度 $T$ の球形の黒体とみなし、光度は $L=4\pi R^2\sigma T^4$（$\sigma$ はシュテファン・ボルツマン定数）で与えられるとする。また、等級 $m$ と観測される放射流束 $F$ の関係は $m=-2.5{\log }_{10}F+\text{const.}$ とし、星間吸収は無視する。

恒星 B の半径は恒星 A の半径の何倍か。正確な値で求めよ。

空間的に平坦な一様等方宇宙が、圧力の無視できる物質（ダスト）と宇宙項 $\Lambda$（$\Lambda >0$）だけを含むとする。スケール因子を $a(t)$（現在 $a=1$）、万有引力定数を $G$、光速を $c$、物質の質量密度を ${\rho }_m$ とし、物質の質量は保存されるので ${\rho }_m\propto a^{-3}$ である。スケール因子は加速方程式
$$\frac{\ddot{a}}{a}=-\frac{4\pi G}{3}{\rho }_m+\frac{\Lambda c^2}{3}$$
に従う。現在のハッブルパラメータを $H_0$、臨界密度を ${\rho }_{\mathrm{c}}=\frac{3H_0^2}{8\pi G}$ とし、現在の物質の密度パラメータを ${\Omega }_m=\frac{{\rho }_{m,0}}{{\rho }_{\mathrm{c}}}=\frac{1}{4}$、宇宙項の密度パラメータを ${\Omega }_{\Lambda }=\frac{\Lambda c^2}{3H_0^2}=\frac{3}{4}$ とする（${\rho }_{m,0}$ は現在の物質の密度）。宇宙の膨張が減速から加速に転じた時刻（$\ddot{a}=0$ となる時刻）に放出され、現在観測される光の赤方偏移 $z$ を、根号を用いた正確な値で求めよ。ただし $1+z=\frac{1}{a}$ である。

空間的に平坦（曲率 $k=0$）で宇宙項がなく、放射（光子などの相対論的粒子）だけを含む一様等方な宇宙を考える。スケール因子を $a(t)$、ハッブルパラメータを $H=\dot{a}/a$、放射のエネルギー密度を $c^2$ で割った質量密度を $\rho$、万有引力定数を $G$ とする。この宇宙ではフリードマン方程式
$$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho$$
が成り立ち、宇宙膨張にともなって $\rho \propto a^{-4}$ と変化する。時刻 $t$ はスケール因子が $a=0$ となる時刻を $t=0$ として測り、$t>0$ で $\dot{a}>0$ とする。密度が $\rho ={\rho }_1$（${\rho }_1>0$）となる時刻 $t_1$ を、$G$ と ${\rho }_1$ を用いて表せ。

恒星 A と恒星 B からなる連星があり、2 つの恒星は万有引力だけを受けて、共通重心を中心とする同一平面内の円軌道を同じ周期で公転している。公転周期は $8$ 年、共通重心から恒星 A までの距離は $2\text{AU}$、共通重心から恒星 B までの距離は $6\text{AU}$ である（AU は天文単位）。

比較のため、地球は太陽のまわりを半径 $1\text{AU}$、周期 $1$ 年の円軌道で公転しているとし、地球の質量は太陽の質量に比べて無視できるものとする。ほかの天体の影響は考えない。

恒星 A の質量 $M_A$ と恒星 B の質量 $M_B$ は、太陽の質量の何倍か。$M_A$, $M_B$ の順に、組で求めよ。

質量 $M$ の自転していない球対称な天体（ブラックホール）のまわりの時空は、シュヴァルツシルト計量
$$d{s}^2=-\left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^{2}d{t}^2+{\left(1-\frac{r_s}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right)$$
で表されるとする。ここで $r_s$ はシュヴァルツシルト半径 $r_s=\frac{2GM}{c^2}$、$G$ は万有引力定数、$c$ は光速である。

動径座標 $r$（$r>r_s$）の位置に静止した光源が、光源とともに静止した観測者が測って波長 ${\lambda }_0$ の光を出す。この光を、天体から十分遠方（$r\to \infty$）に静止した観測者が受け取ると、波長は $2{\lambda }_0$ であった。光源の位置の動径座標 $r$ を $G$, $M$, $c$ を用いて表せ。ただし、天体の質量はほかの天体の影響を受けず、光の伝わる経路上に物質はないものとする。

質量 $M$ の自転していない球対称なブラックホールのまわりの時空は、シュヴァルツシルト座標 $(t,r,\theta ,\varphi )$ を用いて
$$d{s}^2=-\left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^{2}d{t}^2+{\left(1-\frac{r_s}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right)$$
と表される。ここで $c$ は光速、$G$ は万有引力定数、$r_s=\frac{2GM}{c^2}$ はシュヴァルツシルト半径である。

動径座標 $r_A=\frac{3GM}{c^2}$ の位置に静止した観測者 A が、自分の固有時で測って振動数 ${\nu }_A$ の単色光を外向きに送り出し、同じ動径方向の $r_B=\frac{6GM}{c^2}$ の位置に静止した観測者 B がこの光を受け取る。B が自分の固有時で測った振動数を ${\nu }_B$ とし、赤方偏移を $z=\frac{{\nu }_A}{{\nu }_B}-1$ で定める。$z$ の値を、根号を用いた正確な形で求めよ。ただし、計量は時間 $t$ によらないので、光の山が A を出る座標時間の間隔と B に届く座標時間の間隔は等しいとしてよい。

宇宙項がなく、圧力の無視できる物質だけを含む一様等方な宇宙を考える。空間の曲率は負（$k=-1$）であり、長さの次元をもつスケール因子 $a(t)$ は、各時刻における空間の曲率半径に等しくなるように選ぶ。このとき宇宙の膨張はフリードマン方程式
$$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k{c}^2}{a^2},H=\frac{\dot{a}}{a}$$
に従う。ここで $G$ は万有引力定数、$c$ は光速、$\rho$ は物質の質量密度である。

現在のハッブル定数を $H_0$ とし、現在の物質の密度は、ハッブル定数 $H_0$ に対する臨界密度（$k=0$ となる密度）のちょうど $\frac{3}{4}$ 倍であるとする。現在の空間の曲率半径 $a_0$ を $c$, $H_0$ を用いて表せ。

質量 $M$、半径 $R$ の球形のガス雲が、自己重力によってまとまって力学的につり合った状態にある。このガス雲の温度を、次の簡単なモデルで見積もる。

• 重力ポテンシャルエネルギー $W$ を求めるときは、ガス雲の密度を一様とみなす。
• 熱運動の運動エネルギーの総和 $K$ を求めるときは、ガス雲全体の温度を一様に $T$ とみなす（$T$ はガス雲の平均的な温度を表す）。
• ガスは単原子分子理想気体とみなし、ガス粒子 1 個の平均質量を $\mu m_H$（$m_H$ は水素原子の質量、$\mu$ は平均分子量）とする。
• $K$ と $W$ の間にはビリアル定理 $2K+W=0$ が成り立つと仮定する。
• 放射圧・自転・磁場・外部からの圧力は無視する。

万有引力定数を $G$、ボルツマン定数を $k_B$ として、このモデルで見積もった温度 $T$ を $G$, $M$, $R$, $\mu$, $m_H$, $k_B$ を用いて表せ。

質量 $M$ の自転していない球対称な中性子星を考える。星の外部の時空はシュヴァルツシルト計量
$$d{s}^2=-\left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^{2}d{t}^2+{\left(1-\frac{r_s}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right)$$
で表されるとする。ここで $r_s=\frac{2GM}{c^2}$ はシュヴァルツシルト半径、$G$ は万有引力定数、$c$ は光速、$r$ は動径座標である。

星の表面（動径座標 $r=R$、$R>r_s$）に静止した原子が出した輝線を、星から十分遠方（$r\to \infty$）に静止した観測者が観測したところ、その波長は表面で静止した観測者が測る波長の $\frac{5}{4}$ 倍であった。星の自転・運動、および星と観測者の間の物質の影響は無視できるものとする。星の半径 $R$ を $G$, $M$, $c$ を用いて表せ。

ある恒星 S の半径は太陽半径の $2.5$ 倍、有効温度は太陽の有効温度の $2$ 倍である。恒星 S と太陽はともに有効温度の黒体として放射し、光度はシュテファン・ボルツマンの法則で決まるものとする。太陽の絶対等級（全波長で測った等級、以下同じ）を $4.7$ 等とし、絶対等級は天体を距離 $10\text{pc}$ に置いたときの見かけの等級と定義する。また、明るさ（放射流束）が $100$ 倍になると等級は $5$ 小さくなるものとする。星間吸収は無視できる。

地球から見た恒星 S の（全波長で測った）見かけの等級が $9.7$ 等であるとき、地球から恒星 S までの距離は何 $\text{pc}$ か。整数で答えよ。

質量 $M$、半径 $R$ の球形のガス雲が、自身の重力で束縛されて力学的平衡（静水圧平衡）にあり、全体として静止している。ガス雲の密度は一様であり、ガスは平均分子量 $\mu$ の単原子分子理想気体とみなす。すなわち、ガス粒子 1 個の平均質量を $\mu m_{\mathrm{H}}$（$m_{\mathrm{H}}$ は水素原子の質量）とし、ガス雲の中の粒子数は $N=\frac{M}{\mu m_{\mathrm{H}}}$ とする。ガス雲の内部の温度は場所によって違ってもよいが、粒子 1 個あたりの熱運動の運動エネルギーをガス雲全体で平均したものを $\frac{3}{2}{k}_{\mathrm{B}}\bar{T}$ と書いて、平均温度 $\bar{T}$ を定める。

回転・磁場・放射圧・外部からの圧力は無視し、ビリアル定理が成り立つものとする。万有引力定数を $G$、ボルツマン定数を $k_{\mathrm{B}}$ として、$\bar{T}$ を $G$, $M$, $R$, $\mu$, $m_{\mathrm{H}}$, $k_{\mathrm{B}}$ を用いて表せ。

宇宙マイクロ波背景放射（CMB）は、温度 $T$ の黒体放射（光子気体）とみなせる。プランク定数を $h$、光速を $c$、ボルツマン定数を $k_B$ とする。単位体積あたり、振動数 $\nu$ から $\nu +d\nu$ の範囲にある放射のエネルギーは $u_{\nu }d\nu$ と書け、$u_{\nu }$ はプランクの公式
$$u_{\nu }=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu /(k_{B}T)}-1}$$
で与えられる。光子気体の圧力は $p=\frac{u}{3}$（$u$ は全エネルギー密度）であり、光子の化学ポテンシャルは $0$ なので、エントロピー密度は $s=\frac{u+p}{T}$ で与えられる。必要なら次の積分の値を用いてよい。
$${\int }_0^{\infty }\frac{x^3}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^4}{15},{\int }_0^{\infty }\frac{x^2}{e^x-1}dx=2\zeta (3),\zeta (3)=1.202$$
この黒体放射の光子数密度を $n$ とするとき、光子 1 個あたりのエントロピーを $k_B$ を単位として表した量 $\frac{s}{n{k}_B}$ を、有効数字 3 桁で求めよ。

一様等方に膨張する宇宙を考える。現在の宇宙マイクロ波背景放射（CMB）は温度 $T_0$ の黒体放射であり、現在の物質（圧力の無視できる非相対論的物質）の質量密度を ${\rho }_0$ とする。光速を $c$、シュテファン・ボルツマン定数を $\sigma$ とし、温度 $T$ の黒体放射のエネルギー密度は $u=\frac{4\sigma }{c}{T}^4$ で与えられるものとする。

宇宙の膨張にともない、スケール因子を $a$ とすると、物質の質量密度は $a^{-3}$ に比例して変化し、CMB は黒体放射のスペクトルを保ったまま、その温度が $a^{-1}$ に比例して下がるとする。放射成分としては CMB の光子のみを考え（ニュートリノなどは無視する）、物質と放射の間のエネルギーのやりとりはないものとする。

物質のエネルギー密度 $\rho c^2$ と CMB のエネルギー密度 $u$ が等しかった時刻（物質・放射等密度時）における CMB の温度 $T_{\mathrm{eq}}$ を、${\rho }_0,c,\sigma ,T_0$ を用いて表せ。

一様等方に膨張する宇宙で、宇宙の晴れ上がり（光子と物質の脱結合）以後の宇宙マイクロ波背景放射（CMB）の光子気体を考える。晴れ上がり以後、光子は物質と相互作用せず、光子気体はつねに温度 $T$ の黒体放射の状態を保つとする。黒体放射のエネルギー密度は $u=\frac{4\sigma }{c}{T}^4$、圧力は $p=\frac{u}{3}$ である（$\sigma$ はシュテファン・ボルツマン定数、$c$ は光速）。

宇宙の膨張とともに広がる（共動する）領域を 1 つとり、その現在の体積を $V_0$ とする。領域の体積はスケール因子 $a$ の 3 乗に比例して増え、領域内の光子気体は外部と熱のやりとりをせず準静的に（断熱的に）膨張するものとする。晴れ上がりのときの CMB の温度を $T_{\mathrm{d}}$、現在の温度を $T_0$ とする。

晴れ上がりから現在までの間に、この領域内の光子気体が膨張によって外部にした仕事 $W=\int pdV$ を、$\sigma ,c,T_0,T_{\mathrm{d}},V_0$ を用いて表せ。

宇宙マイクロ波背景放射（CMB）は温度 $T$ の黒体放射であり、振動数が $\nu$ と $\nu +d\nu$ の間にある光子のエネルギー密度は、プランクの法則により
$$u_{\nu }d\nu =\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu /(k_{B}T)}-1}d\nu$$
で与えられるとする。ここで $h$ はプランク定数、$c$ は光速、$k_B$ はボルツマン定数である。必要なら積分 ${\int }_0^{\infty }\frac{x^3}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^4}{15}$ を用いてよい。

電波望遠鏡で観測する、振動数が $0<\nu <{\nu }_1$ の低振動数の帯域を考える。${\nu }_1$ は $h{\nu }_1\ll k_{B}T$ を満たす正の定数である。CMB の全エネルギー密度のうち、振動数 $\nu <{\nu }_1$ の光子が担う割合 $f$ を、$h{\nu }_1/(k_{B}T)$ について最低次の項まで求め、$h$, ${\nu }_1$, $k_B$, $T$ を用いて表せ。

恒星 A と恒星 B からなる連星を考える。2 つの恒星は互いの万有引力だけを受けて運動し、恒星 A から見た恒星 B の相対運動は楕円軌道（束縛軌道）である。公転周期を $P$、万有引力定数を $G$ とする。2 つの恒星は質点とみなし、相対論的効果は無視する。

2 つの恒星の間の距離が最小になる瞬間、恒星 A に対する恒星 B の相対速度の大きさは $v_1$ であった。また、2 つの恒星の間の距離が最大になる瞬間、この相対速度の大きさは $v_2$ であった（$v_1>v_2>0$）。さらに、距離が最小になる瞬間に、連星の共通重心が静止して見える慣性系で測った恒星 A の速さは $u$（$0<u<v_1$）であった。

恒星 B の質量 $m_B$ を、$P,v_1,v_2,u,G$ を用いて表せ。

一様等方に膨張する宇宙を考える。スケール因子を $a(t)$ とし、現在の時刻 $t_0$ で $a(t_0)=1$、宇宙の始まり $t=0$ で $a(0)=0$ とする。ハッブルパラメータを $H=\dot{a}/a$、現在のハッブル定数を $H_0(>0)$ とする。この宇宙はフリードマン方程式
$${\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)}^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k{c}^2}{a^2}+\frac{\Lambda c^2}{3}$$
に従う。ここで $G$ は万有引力定数、$c$ は光速、$\rho$ は物質の質量密度、$k$ は曲率の定数、$\Lambda (>0)$ は宇宙定数である。

宇宙に含まれる物質は圧力の無視できる非相対論的物質だけであり（放射は無視する）、その密度は $\rho \propto a^{-3}$ に従って変化する。空間は平坦（$k=0$）であり、現在の物質の密度は、臨界密度 ${\rho }_c=\frac{3H_0^2}{8\pi G}$ のちょうど $\frac{1}{4}$ である。

この宇宙の年齢 $t_0$ とハッブル定数の積 $H_0{t}_0$ を、根号と自然対数を用いた正確な値で求めよ。

自己重力で球対称に束縛され、静水圧平衡にある質量 $M$、半径 $R$ の静止した恒星を考える。中心からの距離 $r$ における密度は
$$\rho (r)={\rho }_c\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)(0\le r\le R)$$
で与えられる（${\rho }_c$ は定数）。恒星内部の圧力 $P$ は、単原子分子理想気体のガス圧 $P_g$ と放射圧 $P_r$ の和 $P=P_g+P_r$ であり、ガス圧の割合 $\beta =P_g/P$（$0<\beta \le 1$）は恒星内部のいたるところで一定であるとする。単位体積あたりの内部エネルギーは、ガスについては $\frac{3}{2}{P}_g$、放射については $3P_r$ とする。表面 $r=R$ で圧力は $0$ とし、回転・磁場は無視する。万有引力定数を $G$ とする。

重力ポテンシャルエネルギーと内部エネルギー（ガスと放射）の和として定義される恒星の全エネルギー $E$ を、$G,M,R,\beta$ を用いて表せ。

宇宙マイクロ波背景放射（CMB）が等方的に見える座標系（CMB 静止系）では、CMB は温度 $T_0$ の等方的な黒体放射であり、そのエネルギー密度は $u_0=a{T}_0^4$（$a$ は放射定数）である。この系に対して一定の速さ $v=\beta c$（$0<\beta <1$、$c$ は光速）で等速直線運動する観測者を考える。観測者の静止系で測った CMB の（全振動数・全方向について積分した）エネルギー密度を $u^{\prime }$ とするとき、比 $u^{\prime }/u_0$ を $\beta$ で表せ。

ただし、放射の比強度 $I_{\nu }$ と振動数 $\nu$ について $I_{\nu }/{\nu }^3$ はローレンツ変換で不変であることを用いてよい。宇宙膨張の効果や重力の効果は考えず、特殊相対論の範囲で扱うものとする。

自己重力で球対称に束縛され、静水圧平衡にある質量 $M$、半径 $R$ の静止したガス球（恒星のモデル）を考える。中心からの距離 $r$ における密度が
$$\rho (r)={\rho }_c\left(1-\frac{r}{R}\right)(0\le r\le R)$$
で与えられ、表面での圧力は $P(R)=0$ とする。ここで ${\rho }_c$ は中心密度（正の定数）である。万有引力定数を $G$ とし、自転・磁場・輻射圧の効果は考えない。

中心圧力を $P_c=P(0)$、体積平均圧力を
$$⟨P⟩=\frac{1}{V}{\int }_0^{R}P(r)4\pi r^{2}dr,V=\frac{4}{3}\pi R^3$$
とする。比 $\frac{P_c}{⟨P⟩}$ を既約分数で求めよ。

一様等方に膨張する初期宇宙を考える。$k_B=\hslash =c=1$ の単位系を用いる。温度 $T$ の熱平衡にある質量の無視できる（相対論的な）粒子種のエネルギー密度 $\rho$ とエントロピー密度 $s$ は、内部自由度を $g$ として
$$\rho =\frac{{\pi }^2}{30}{g}_{\mathrm{eff}}{T}^4,s=\frac{2{\pi }^2}{45}{g}_{\mathrm{eff}}{T}^3$$
で与えられる。ここで、ボース粒子では $g_{\mathrm{eff}}=g$、フェルミ粒子では $g_{\mathrm{eff}}=\frac{7}{8}g$ である（化学ポテンシャルは $0$ とする）。

ある仮想的な宇宙では、ニュートリノが他の粒子と相互作用しなくなった（脱結合した）時点で、次の粒子が同じ温度 $T$ の熱平衡にあり、すべて相対論的であった。
- 光子（$g=2$）
- 電子と陽電子（あわせて $g=4$ のフェルミ粒子）
- 中性の実スカラー粒子 $\varphi$（自身が反粒子、$g=1$ のボース粒子）
- 3 世代のニュートリノと反ニュートリノ（1 世代あたり、ニュートリノと反ニュートリノがそれぞれ $1$ つのヘリシティ状態をもち、あわせて $g=2$ のフェルミ粒子）

脱結合の後、宇宙の温度が下がると、電子・陽電子と $\varphi$ は光子との熱平衡を保ったまま非相対論的になって消滅し、それらのエントロピーはすべて光子に移った。この過程で光子・電子・陽電子・$\varphi$ からなる系の共動体積あたりのエントロピーは保存するとする。一方、脱結合したニュートリノは質量が無視でき、その温度はスケール因子に反比例して下がり続ける。

電子・陽電子と $\varphi$ が十分に消滅した後の時刻における、3 世代分のニュートリノと反ニュートリノのエネルギー密度の和 ${\rho }_{\nu }$ と、光子（黒体放射）のエネルギー密度 ${\rho }_{\gamma }$ の比 $\frac{{\rho }_{\nu }}{{\rho }_{\gamma }}$ を、正確な形で求めよ。

2 つの球形の恒星 A, B からなる食連星がある。恒星 B の半径は恒星 A の半径より小さい。軌道面は視線方向を含み、食の間、地球から見た B の円板は A の円板の内側に完全に入るか、A の円板の後ろに完全に隠れるかのどちらかの状態を一定時間保つ。

• B が A の手前にあり、B の円板全体が A の円板の内側に入っている間、連星系の（全波長で測った）見かけの等級は、食のないときより $a$ 等大きい。
• B が A の後ろに完全に隠れている間、連星系の見かけの等級は、食のないときより $b$ 等大きい。

各恒星は表面全体が一様な明るさで輝く（周縁減光はない）有効温度 $T_A$, $T_B$ の黒体とみなし、単位面積あたりの放射はシュテファン・ボルツマンの法則に従うとする。恒星どうしの照り返しや星間吸収は無視し、恒星の見かけの等級 $m$ と地球で受けるエネルギー流束 $F$ の間には $m=-2.5{\log }_{10}F+(\text{定数})$ の関係があるとする。$a>0$, $b>0$ である。

有効温度の比 $\frac{T_B}{T_A}$ を $a$, $b$ を用いて表せ。

恒星 A と恒星 B からなる分光連星を考える。2 つの恒星は互いの万有引力だけを受けて、共通重心を中心とする同一平面内の円軌道を同じ周期 $P$ で公転している。軌道面の法線と視線（地球から連星への方向）のなす角（軌道傾斜角）は $i$（$0<i\le \frac{\pi }{2}$）であることが分かっている。スペクトル線のドップラー効果から、恒星 A, B の視線方向の速度は、共通重心の視線速度を中心としてそれぞれ振幅 $K_A$, $K_B$（$K_A>0$, $K_B>0$）で正弦的に変化することが観測された。万有引力定数を $G$ とし、恒星の速さは光速に比べて十分小さく、ニュートン力学が成り立つものとする。恒星 A の質量 $m_A$ を、$P$, $K_A$, $K_B$, $i$, $G$ を用いて表せ。

宇宙項がなく、圧力の無視できる物質（ダスト）だけを含む一様等方な宇宙を考える。スケール因子を $a(t)$（現在の時刻 $t_0$ で $a(t_0)=1$）、ハッブルパラメータを $H=\dot{a}/a$、物質の質量密度を $\rho (t)$、万有引力定数を $G$、光速を $c$ とすると、宇宙の膨張はフリードマン方程式
$$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k{c}^2}{a^2}(k\text{は定数})$$
に従い、物質の質量は保存されるので $\rho a^3$ は一定である。現在のハッブル定数を $H_0$（$H_0>0$）、臨界密度を ${\rho }_c=\frac{3H_0^2}{8\pi G}$ とし、現在の密度パラメータ ${\Omega }_0=\frac{\rho (t_0)}{{\rho }_c}$ は ${\Omega }_0>1$ を満たすとする。

この宇宙は $a=0$ の状態（ビッグバン）から膨張を始め、最大まで膨張したのち収縮に転じ、再び $a=0$ の状態（ビッグクランチ）に至る。ビッグバンからビッグクランチまでの時間 $t_{\text{life}}$ を、$H_0$, ${\Omega }_0$ を用いて表せ。

一様等方に膨張する宇宙で、宇宙の晴れ上がり以後の宇宙マイクロ波背景放射（CMB）を考える。晴れ上がり以後、CMB の光子は物質と相互作用せずに自由に伝わり、各光子の振動数は宇宙膨張によってスケール因子に反比例して変化するものとする。現在（赤方偏移 $z=0$）の CMB は温度 $T_0$ の黒体放射である。

温度 $T$ の黒体放射の、単位体積・単位振動数あたりのエネルギー密度は
$$u_{\nu }(T)=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu /k_{\mathrm{B}}T}-1}$$
である（$h$ はプランク定数、$k_{\mathrm{B}}$ はボルツマン定数、$c$ は光速）。必要なら ${\int }_0^{\infty }\frac{x^3}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^4}{15}$ を用いてよい。

赤方偏移 $z$（$z\ge 0$）にある、宇宙膨張とともに動くガス雲を考える。このガス雲の静止系で測ったとき、その時刻の CMB の全エネルギー密度のうち、振動数が ${\nu }_c$ 未満の光子が担う割合を $F$ とする。$x_0=\frac{h{\nu }_c}{k_{\mathrm{B}}{T}_0}$ とおき、$\frac{x_0}{1+z}\ll 1$ であるとして、$F$ を $\frac{x_0}{1+z}$ のべきで展開したときの、最も低い次数の項とその次の項の和を、$x_0$, $z$ を用いて表せ。

宇宙項がなく、圧力の無視できる物質（ダスト）だけを含む一様等方な宇宙を考える。スケール因子を $a(t)$ とし、現在の時刻 $t_0$ で $a(t_0)=1$ とする。ハッブルパラメータを $H=\dot{a}/a$、現在のハッブル定数を $H_0$（$H_0>0$）とする。宇宙の膨張はフリードマン方程式
$$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k{c}^2}{a^2}$$
に従う（$G$ は万有引力定数、$c$ は光速、$\rho$ は物質の質量密度、$k$ は曲率を表す定数）。物質の質量は保存し、$\rho \propto a^{-3}$ である。

現在の物質の密度 ${\rho }_0$ を臨界密度 ${\rho }_{\mathrm{cr}}=\frac{3H_0^2}{8\pi G}$ で割った密度パラメータを ${\Omega }_0=\frac{{\rho }_0}{{\rho }_{\mathrm{cr}}}$ とし、${\Omega }_0>1$ であるとする。この宇宙は $a=0$（ビッグバン）から膨張を始め、最大の大きさに達したのち収縮に転じ、再び $a=0$ に戻る。

ビッグバンから再び $a=0$ に戻るまでの時間を、$H_0$ と ${\Omega }_0$ を用いて表せ。必要なら、正の定数 $A$, $B$ を用いた媒介変数表示 $a=A(1-\cos \eta )$, $t=B(\eta -\sin \eta )$（ビッグバンを $t=0$, $\eta =0$ とする）を用いてよい。