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宇宙物理・宇宙論の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学物理宇宙物理・宇宙論

質量 $M$ 、半径 $R$ の球対称な星があり、密度は星の内部のどこでも一様であるとする。星は静水圧平衡にあり、表面 $r = R$ で圧力は $0$ である。万有引力定数を $G$ とする。

星の重力エネルギーは
$U = - \int_{0}^{M} \frac{GM ( r )}{r} d m$
（ $M (r)$ は半径 $r$ の内側の質量、 $d m = 4 π r^{2} ρ d r$ ）で定義され、静水圧平衡からビリアル定理
$3 \int_{0}^{V} P d V = - U$
が成り立つ（ $V$ は星の体積、 $d V = 4 π r^{2} d r$ ）。このとき、星の体積平均圧力 $⟨ P ⟩ = \frac{1}{V} \int_{0}^{V} P d V$ を $G$ , $M$ , $R$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

ビリアル定理（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（90 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

ビリアル定理 $3 \int P d V = - U$ を使います。圧力分布を求めなくても、重力エネルギー $U$ がわかれば $\int P d V$ が求まります。

ヒント 2

一様密度では $M (r) = M \frac{r ^{3}}{R ^{3}}$ 、 $d m = \frac{3 M r ^{2}}{R ^{3}} d r$ です。これを $U = - \int \frac{GM ( r )}{r} d m$ に代入します。

ヒント 3

$U = - \frac{3 G M ^{2}}{5 R}$ となるので、 $\int P d V = \frac{G M ^{2}}{5 R}$ です。あとは体積 $\frac{4}{3} π R^{3}$ で割ります。

答えと解説

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\frac{3 G M ^{2}}{20 π R ^{4}}

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手順 1: 重力エネルギー $U$ を求める。
密度は一様なので $ρ = \frac{3 M}{4 π R ^{3}}$ 、半径 $r$ の内側の質量は
$M (r) = M \frac{r ^{3}}{R ^{3}}$
である。また $d m = 4 π r^{2} ρ d r = \frac{3 M r ^{2}}{R ^{3}} d r$ 。よって
$U = - \int_{0}^{R} \frac{G}{r} \cdot \frac{M r ^{3}}{R ^{3}} \cdot \frac{3 M r ^{2}}{R ^{3}} d r = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} \int_{0}^{R} r^{4} d r = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} \cdot \frac{R ^{5}}{5} = - \frac{3 G M ^{2}}{5 R}$

手順 2: ビリアル定理を使う。
$3 \int P d V = - U$ より
$\int_{0}^{V} P d V = - \frac{U}{3} = \frac{G M ^{2}}{5 R}$
この関係は、静水圧平衡の式 $\frac{d P}{d r} = - \frac{GM ( r ) ρ}{r ^{2}}$ に $4 π r^{3}$ をかけて $r = 0$ から $R$ まで積分し、左辺を部分積分（表面で $P = 0$ 、中心で $r^{3} = 0$ なので境界項が消える）して得られる。

手順 3: 体積で割る。
星の体積は $V = \frac{4}{3} π R^{3}$ なので
$⟨ P ⟩ = \frac{1}{V} \int_{0}^{V} P d V = \frac{G M ^{2}}{5 R} \cdot \frac{3}{4 π R ^{3}} = \frac{3 G M ^{2}}{20 π R ^{4}}$

別解

一様密度なので $M (r) = M \frac{r ^{3}}{R ^{3}}$ 、 $d m = \frac{3 M}{R ^{3}} r^{2} d r$ 。重力エネルギーは $U = - \int_{0}^{R} \frac{G}{r} \cdot M \frac{r ^{3}}{R ^{3}} \cdot \frac{3 M}{R ^{3}} r^{2} d r = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} \int_{0}^{R} r^{4} d r = - \frac{3 G M ^{2}}{5 R}$ 。ビリアル定理 $3 \int_{0}^{V} P d V = - U$ より $\int_{0}^{V} P d V = \frac{G M ^{2}}{5 R}$ 。体積は $V = \frac{4 π}{3} R^{3}$ なので $⟨ P ⟩ = \frac{1}{V} \int_{0}^{V} P d V = \frac{G M ^{2}}{5 R} \cdot \frac{3}{4 π R ^{3}} = \frac{3 G M ^{2}}{20 π R ^{4}}$ 。検算: 一様密度星の圧力は $P (r) = P_{c} (1 - r^{2} / R^{2})$ 、 $P_{c} = \frac{3 G M ^{2}}{8 π R ^{4}}$ で、体積平均は $P_{c} (1 - \frac{3}{5}) = \frac{2}{5} P_{c} = \frac{3 G M ^{2}}{20 π R ^{4}}$ となり一致する。

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