宇宙物理・宇宙論の問題

質量 $M$、半径 $R$ の球形のガス雲が、自己重力によってまとまって力学的につり合った状態にある。このガス雲の温度を、次の簡単なモデルで見積もる。

• 重力ポテンシャルエネルギー $W$ を求めるときは、ガス雲の密度を一様とみなす。
• 熱運動の運動エネルギーの総和 $K$ を求めるときは、ガス雲全体の温度を一様に $T$ とみなす（$T$ はガス雲の平均的な温度を表す）。
• ガスは単原子分子理想気体とみなし、ガス粒子 1 個の平均質量を $\mu m_H$（$m_H$ は水素原子の質量、$\mu$ は平均分子量）とする。
• $K$ と $W$ の間にはビリアル定理 $2K+W=0$ が成り立つと仮定する。
• 放射圧・自転・磁場・外部からの圧力は無視する。

万有引力定数を $G$、ボルツマン定数を $k_B$ として、このモデルで見積もった温度 $T$ を $G$, $M$, $R$, $\mu$, $m_H$, $k_B$ を用いて表せ。

自己重力で球対称に束縛され、静水圧平衡にある質量 $M$、半径 $R$ の静止した恒星を考える。中心からの距離 $r$ における密度は
$$\rho (r)={\rho }_c\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)(0\le r\le R)$$
で与えられる（${\rho }_c$ は定数）。恒星内部の圧力 $P$ は、単原子分子理想気体のガス圧 $P_g$ と放射圧 $P_r$ の和 $P=P_g+P_r$ であり、ガス圧の割合 $\beta =P_g/P$（$0<\beta \le 1$）は恒星内部のいたるところで一定であるとする。単位体積あたりの内部エネルギーは、ガスについては $\frac{3}{2}{P}_g$、放射については $3P_r$ とする。表面 $r=R$ で圧力は $0$ とし、回転・磁場は無視する。万有引力定数を $G$ とする。

重力ポテンシャルエネルギーと内部エネルギー（ガスと放射）の和として定義される恒星の全エネルギー $E$ を、$G,M,R,\beta$ を用いて表せ。

質量 $M$、半径 $R$ の球対称な星があり、密度は星の内部のどこでも一様であるとする。星は静水圧平衡にあり、表面 $r=R$ で圧力は $0$ である。万有引力定数を $G$ とする。

星の重力エネルギーは
$$U=-{\int }_0^M\frac{GM(r)}{r}dm$$
（$M(r)$ は半径 $r$ の内側の質量、$dm=4\pi r^2\rho dr$）で定義され、静水圧平衡からビリアル定理
$$3{\int }_0^{V}PdV=-U$$
が成り立つ（$V$ は星の体積、$dV=4\pi r^{2}dr$）。このとき、星の体積平均圧力 $⟨P⟩=\frac{1}{V}{\int }_0^{V}PdV$ を $G$, $M$, $R$ を用いて表せ。

宇宙マイクロ波背景放射（CMB）は、温度 $T$ の黒体放射（光子気体）とみなせる。プランク定数を $h$、光速を $c$、ボルツマン定数を $k_B$ とする。単位体積あたり、振動数 $\nu$ から $\nu +d\nu$ の範囲にある放射のエネルギーは $u_{\nu }d\nu$ と書け、$u_{\nu }$ はプランクの公式
$$u_{\nu }=\frac{8\pi h{\nu }^3}{c^3}\frac{1}{e^{h\nu /(k_{B}T)}-1}$$
で与えられる。光子気体の圧力は $p=\frac{u}{3}$（$u$ は全エネルギー密度）であり、光子の化学ポテンシャルは $0$ なので、エントロピー密度は $s=\frac{u+p}{T}$ で与えられる。必要なら次の積分の値を用いてよい。
$${\int }_0^{\infty }\frac{x^3}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^4}{15},{\int }_0^{\infty }\frac{x^2}{e^x-1}dx=2\zeta (3),\zeta (3)=1.202$$
この黒体放射の光子数密度を $n$ とするとき、光子 1 個あたりのエントロピーを $k_B$ を単位として表した量 $\frac{s}{n{k}_B}$ を、有効数字 3 桁で求めよ。

空間的に平坦（曲率 $k=0$）で宇宙項がなく、放射（光子などの相対論的粒子）だけを含む一様等方な宇宙を考える。スケール因子を $a(t)$、ハッブルパラメータを $H=\dot{a}/a$、放射のエネルギー密度を $c^2$ で割った質量密度を $\rho$、万有引力定数を $G$ とする。この宇宙ではフリードマン方程式
$$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho$$
が成り立ち、宇宙膨張にともなって $\rho \propto a^{-4}$ と変化する。時刻 $t$ はスケール因子が $a=0$ となる時刻を $t=0$ として測り、$t>0$ で $\dot{a}>0$ とする。密度が $\rho ={\rho }_1$（${\rho }_1>0$）となる時刻 $t_1$ を、$G$ と ${\rho }_1$ を用いて表せ。