静水圧平衡

球対称な星の静水圧平衡 $\frac{d P}{d r} = - \frac{GM ( r ) ρ ( r )}{r ^{2}}$ と $M (r) = \int_{0}^{r} 4 π r^{'2} ρ d r^{'}$ を使い、与えられた密度分布から質量分布・圧力分布・中心圧力を求められる

前提

万有引力の法則（高校物理円運動・単振動・万有引力（知識））
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）

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算数中学高校大学大学院

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定積分の計算（数学II 微分法と積分法）

説明

恒星や惑星の内部では、自分自身の重力で中心へ縮もうとする力と、内部の圧力が外へ押し返す力がつり合っています。この技能では、そのつり合い（静水圧平衡）の式 $\frac{d P}{d r} = - \frac{GM ( r ) ρ ( r )}{r ^{2}}$ を使って、与えられた密度分布 $ρ (r)$ から、半径 $r$ より内側の質量 $M (r)$ 、圧力の分布 $P (r)$ 、そして中心の圧力 $P_{c}$ を求められるようになります。星の中心がどれほど高圧になっているかを見積もるときの基本になります。

なぜそうしてよいのか

中心からの距離 $r$ だけで密度が決まる球対称な星を考えます。半径 $r$ より内側の質量 $M (r)$ は、半径 $r^{'}$ 、厚さ $d r^{'}$ の薄い球殻（表面積 $4 π r^{'2}$ 、体積 $4 π r^{'2} d r^{'}$ 、質量 $4 π r^{'2} ρ (r^{'}) d r^{'}$ ）を中心から足し合わせて
$M (r) = \int_{0}^{r} 4 π r^{'2} ρ (r^{'}) d r^{'}$
です。また、球対称な質量分布では、半径 $r$ の点が受ける重力は、それより内側の質量 $M (r)$ がすべて中心に集まったときの万有引力と同じで、外側の球殻からの引力は互いに打ち消し合って 0 になります（この事実をここでは使います）。

次に、半径 $r$ の位置にある、底面積 $A$ 、厚さ $d r$ の小さな円柱状の部分を考えます。この部分の質量は $ρ (r) A d r$ で、中心向きの重力 $\frac{GM ( r ) ρ ( r ) A d r}{r ^{2}}$ を受けます。この部分が静止しているためには、内側の面で外向きに押す力 $P (r) A$ が、外側の面で内向きに押す力 $P (r + d r) A$ と重力の和につり合わなければなりません。 $P (r) A = P (r + d r) A + \frac{GM ρ A d r}{r ^{2}}$ を $A d r$ で割って $d r \to 0$ とすると
$\frac{d P}{d r} = - \frac{GM ( r ) ρ ( r )}{r ^{2}}$
が得られます。外へ行くほど上に乗っている物質が減るので圧力は下がり、右辺が負になっています。

圧力は表面 $r = R$ でほぼ 0（ $P (R) = 0$ ）とするのが普通です。この境界条件のもとで両辺を $r$ から $R$ まで積分すると $P (R) - P (r) = \int_{r}^{R} \frac{d P}{d r ^{'}} d r^{'}$ なので
$P (r) = \int_{r}^{R} \frac{GM ( r ^{'} ) ρ ( r ^{'} )}{r ^{'2}} d r^{'}$
となり、 $r = 0$ とおけば中心圧力 $P_{c}$ が求まります。

手順

密度分布 $ρ (r)$ を積分して質量分布 $M (r) = \int_{0}^{r} 4 π r^{'2} ρ (r^{'}) d r^{'}$ を求める
静水圧平衡の式に代入して $\frac{d P}{d r} = - \frac{GM ( r ) ρ ( r )}{r ^{2}}$ を $r$ の関数として整理する
表面の境界条件 $P (R) = 0$ を使い、 $P (r) = \int_{r}^{R} \frac{GM ( r ^{'} ) ρ ( r ^{'} )}{r ^{'2}} d r^{'}$ を計算する
$r = 0$ を代入して中心圧力 $P_{c} = P (0)$ を求める。必要なら全質量 $M = M (R)$ で書き直す

例題

半径 $R$ の球対称な星の密度がどこでも一様で $ρ (r) = ρ_{0}$ であるとする。表面での圧力を $P (R) = 0$ とし、万有引力定数を $G$ とする。静水圧平衡が成り立つとして、星の中心圧力 $P_{c}$ を $G, ρ_{0}, R$ を用いて求めよ。

例題の解答

手順 1: $M (r) = \int_{0}^{r} 4 π r^{'2} ρ_{0} d r^{'} = 4 π ρ_{0} [\frac{r ^{'3}}{3}]_{0}^{r} = \frac{4 π ρ _{0} r ^{3}}{3}$

手順 2: $\frac{d P}{d r} = - \frac{G}{r ^{2}} \cdot \frac{4 π ρ _{0} r ^{3}}{3} \cdot ρ_{0} = - \frac{4 π G ρ _{0}^{2}}{3} r$

手順 3: $P (R) = 0$ より
$P (r) = \int_{r}^{R} \frac{4 π G ρ _{0}^{2}}{3} r^{'} d r^{'} = \frac{4 π G ρ _{0}^{2}}{3} [\frac{r ^{'2}}{2}]_{r}^{R} = \frac{2 π G ρ _{0}^{2}}{3} (R^{2} - r^{2})$

手順 4: $r = 0$ とおいて
$P_{c} = \frac{2 π G ρ _{0}^{2} R ^{2}}{3}$
全質量 $M = \frac{4 π ρ _{0} R ^{3}}{3}$ を使えば $P_{c} = \frac{3 G M ^{2}}{8 π R ^{4}}$ とも書ける。

答え: $\frac{2 π G ρ _{0}^{2} R ^{2}}{3}$

よくある誤り

$M (r)$ の代わりに星全体の質量 $M$ を使って $\frac{d P}{d r} = - \frac{GM ρ}{r ^{2}}$ としてしまう誤り（中心に近づくと発散してしまう）。半径 $r$ より外側の物質はその点に正味の重力を及ぼさないので、正しくは内側の質量 $M (r) = \int_{0}^{r} 4 π r^{'2} ρ d r^{'}$ を使う
質量分布を $M (r) = ρ (r) \cdot \frac{4}{3} π r^{3}$ としてしまう誤り。密度が一様なときしか成り立たない。密度が $r$ によって変わるときは、正しくは $M (r) = \int_{0}^{r} 4 π r^{'2} ρ (r^{'}) d r^{'}$ と積分する（例: $ρ = ρ_{0} (1 - r / R)$ なら $M (r) = 4 π ρ_{0} (\frac{r ^{3}}{3} - \frac{r ^{4}}{4 R})$ ）
境界条件を中心でとって $P (0) = 0$ としたり、積分の向きを逆にして $P (r) = \int_{0}^{r} \frac{GM ρ}{r ^{'2}} d r^{'}$ としてしまう誤り。圧力が 0 になるのは表面なので、正しくは $P (R) = 0$ から $P (r) = \int_{r}^{R} \frac{GM ( r ^{'} ) ρ ( r ^{'} )}{r ^{'2}} d r^{'}$ で、中心で最大になる
静水圧平衡の式で $ρ$ をかけ忘れて $\frac{d P}{d r} = - \frac{GM ( r )}{r ^{2}}$ としてしまう誤り。 $\frac{GM ( r )}{r ^{2}}$ は単位質量あたりの重力（重力加速度の大きさ）であり、圧力勾配とつり合うのは単位体積あたりの重力なので、正しくは $\frac{d P}{d r} = - \frac{GM ( r ) ρ ( r )}{r ^{2}}$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
半径 $R$ の球対称な星があり、その密度は星の内部のどこでも一定値 $ρ_{0}$ であるとする。星は静水圧平衡にあり、中心からの距離 $r$ における圧力 $P (r)$ は
$\frac{d P}{d r} = - \frac{GM ( r ) ρ ( r )}{r ^{2}}, M (r) = \int_{0}^{r} 4 π r^{'2} ρ (r^{'}) d r^{'}$
を満たす。ここで $G$ は万有引力定数、 $M (r)$ は半径 $r$ の球の内側にある質量である。星の表面 $r = R$ で圧力は $0$ とする。このとき、星の中心 $r = 0$ での圧力 $P_{c}$ を $G$ , $ρ_{0}$ , $R$ を用いて表せ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ビリアル定理（大学物理宇宙物理・宇宙論）