この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

宇宙物理・宇宙論の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理宇宙物理・宇宙論

自己重力で球対称に束縛され、静水圧平衡にある質量 $M$ 、半径 $R$ の静止した恒星を考える。中心からの距離 $r$ における密度は
$ρ (r) = ρ_{c} (1 - \frac{r ^{2}}{R ^{2}}) (0 \leq r \leq R)$
で与えられる（ $ρ_{c}$ は定数）。恒星内部の圧力 $P$ は、単原子分子理想気体のガス圧 $P_{g}$ と放射圧 $P_{r}$ の和 $P = P_{g} + P_{r}$ であり、ガス圧の割合 $β = P_{g} / P$ （ $0 < β \leq 1$ ）は恒星内部のいたるところで一定であるとする。単位体積あたりの内部エネルギーは、ガスについては $\frac{3}{2} P_{g}$ 、放射については $3 P_{r}$ とする。表面 $r = R$ で圧力は $0$ とし、回転・磁場は無視する。万有引力定数を $G$ とする。

重力ポテンシャルエネルギーと内部エネルギー（ガスと放射）の和として定義される恒星の全エネルギー $E$ を、 $G, M, R, β$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

ビリアル定理（説明と入口の問題）
静水圧平衡（説明と入口の問題）
定積分の計算（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（90 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

静水圧平衡の式に $4 π r^{3}$ を掛けて全体で積分し、圧力の体積積分と重力ポテンシャルエネルギーの関係（ビリアル定理）を導く。

ヒント 2

$3 \int P d V = - W$ と、 $β$ が一定であることから $U = 3 (1 - β /2) \int P d V$ となり、 $E = U + W$ は $W$ だけで表せる。

ヒント 3

$x = r / R$ とおくと $m = \frac{M}{2} (5 x^{3} - 3 x^{5})$ 、 $d m = \frac{15 M}{2} (x^{2} - x^{4}) d x$ となる。 $W = - \int G m d m / r$ を計算すればよい。

答えと解説

答えを見る

- \frac{5 β G M ^{2}}{14 R}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

1. ビリアル定理の導出

半径 $r$ 内の質量を $m (r)$ とすると、静水圧平衡の式は
$\frac{d P}{d r} = - \frac{G m ρ}{r ^{2}}$
である。両辺に $4 π r^{3}$ を掛けて $0$ から $R$ まで積分する。左辺は部分積分により
$\int_{0}^{R} 4 π r^{3} \frac{d P}{d r} d r = [4 π r^{3} P]_{0}^{R} - 3 \int_{0}^{R} 4 π r^{2} P d r = - 3 \int P d V$
（表面で $P = 0$ 、中心で $r^{3} = 0$ ）。右辺は $d m = 4 π r^{2} ρ d r$ より
$- \int_{0}^{R} \frac{G m}{r} 4 π r^{2} ρ d r = - \int_{0}^{M} \frac{G m}{r} d m = W$
で、これは重力ポテンシャルエネルギーである。よって
$3 \int P d V = - W .$

2. 内部エネルギー

$P_{g} = β P$ , $P_{r} = (1 - β) P$ で $β$ が一定なので
$U = \int (\frac{3}{2} β P + 3 (1 - β) P) d V = 3 (1 - \frac{β}{2}) \int P d V = (1 - \frac{β}{2}) (- W) .$
したがって
$E = U + W = - W + \frac{β}{2} W + W = \frac{β}{2} W .$

3. 重力ポテンシャルエネルギーの計算

$x = r / R$ とおく。
$m (r) = 4 π ρ_{c} \int_{0}^{r} (r^{'2} - \frac{r ^{'4}}{R ^{2}}) d r^{'} = 4 π ρ_{c} R^{3} (\frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{5}}{5}) .$
$x = 1$ で $M = 4 π ρ_{c} R^{3} \cdot \frac{2}{15} = \frac{8 π ρ _{c} R ^{3}}{15}$ なので $4 π ρ_{c} R^{3} = \frac{15 M}{2}$ 。よって
$m = \frac{M}{2} (5 x^{3} - 3 x^{5}), d m = \frac{15 M}{2} (x^{2} - x^{4}) d x .$
これより
$W = - \frac{G}{R} \int_{0}^{1} \frac{M}{2} \cdot \frac{5 x ^{3} - 3 x ^{5}}{x} \cdot \frac{15 M}{2} (x^{2} - x^{4}) d x = - \frac{15 G M ^{2}}{4 R} \int_{0}^{1} (5 x^{4} - 8 x^{6} + 3 x^{8}) d x .$
積分は $1 - \frac{8}{7} + \frac{1}{3} = \frac{4}{21}$ なので
$W = - \frac{15}{4} \cdot \frac{4}{21} \frac{G M ^{2}}{R} = - \frac{5}{7} \frac{G M ^{2}}{R} .$

4. 結果
$E = \frac{β}{2} W = - \frac{5 β G M ^{2}}{14 R} .$
（ $β = 1$ のとき通常の $E = W /2$ 、 $β \to 0$ のとき $E \to 0$ となり、放射圧が優勢な恒星ほど束縛が弱いことを示している。）

別解

静水圧平衡 $d P / d r = - G m ρ / r^{2}$ に $4 π r^{3}$ を掛けて $0 \sim R$ で積分し、表面で $P = 0$ を使うと、ビリアル定理 $3 \int P d V = - Ω$ が得られる。 $Ω$ は重力ポテンシャルエネルギーである。

内部エネルギーは $U = \int (\frac{3}{2} P_{g} + 3 P_{r}) d V = \int [\frac{3}{2} β + 3 (1 - β)] P d V = (3 - \frac{3}{2} β) \int P d V$ となる。ビリアル定理より $U = - (1 - β /2) Ω$ 。したがって $E = Ω + U = \frac{β}{2} Ω$ 。

次に $Ω$ を求める。 $x = r / R$ とおく。
- 全質量: $M = 4 π ρ_{c} R^{3} \int_{0}^{1} (x^{2} - x^{4}) d x = \frac{8 π ρ _{c} R ^{3}}{15}$
- 内部質量: $m (x) = M (\frac{5}{2} x^{3} - \frac{3}{2} x^{5})$
- 質量要素: $d m = \frac{15}{2} M (x^{2} - x^{4}) d x$

$Ω = - G \int \frac{m d m}{r} = - \frac{G M ^{2}}{R} \cdot \frac{15}{2} \cdot \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (5 x^{2} - 3 x^{4}) (x^{2} - x^{4}) d x$

被積分関数は $5 x^{4} - 8 x^{6} + 3 x^{8}$ で、積分は $1 - \frac{8}{7} + \frac{1}{3} = \frac{4}{21}$ 。よって $Ω = - \frac{15}{4} \cdot \frac{4}{21} \frac{G M ^{2}}{R} = - \frac{5}{7} \frac{G M ^{2}}{R}$ 。

ゆえに $E = \frac{β}{2} Ω = - \frac{5 β G M ^{2}}{14 R}$ 。

検算として $β = 1$ を考える。このとき $E = Ω/2 = - \frac{5}{14} G M^{2} / R$ で、 $U = - Ω/2$ を使う単原子理想気体の通常のビリアル関係と一致する。

宇宙物理・宇宙論の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題