宇宙物理・宇宙論の問題

質量 $M$、半径 $R$ の球対称な星があり、密度は星の内部のどこでも一様であるとする。星は静水圧平衡にあり、表面 $r=R$ で圧力は $0$ である。万有引力定数を $G$ とする。

星の重力エネルギーは
$$U=-{\int }_0^M\frac{GM(r)}{r}dm$$
（$M(r)$ は半径 $r$ の内側の質量、$dm=4\pi r^2\rho dr$）で定義され、静水圧平衡からビリアル定理
$$3{\int }_0^{V}PdV=-U$$
が成り立つ（$V$ は星の体積、$dV=4\pi r^{2}dr$）。このとき、星の体積平均圧力 $⟨P⟩=\frac{1}{V}{\int }_0^{V}PdV$ を $G$, $M$, $R$ を用いて表せ。

自己重力で球対称に束縛され、静水圧平衡にある質量 $M$、半径 $R$ の静止した恒星を考える。中心からの距離 $r$ における密度は
$$\rho (r)={\rho }_c\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right)(0\le r\le R)$$
で与えられる（${\rho }_c$ は定数）。恒星内部の圧力 $P$ は、単原子分子理想気体のガス圧 $P_g$ と放射圧 $P_r$ の和 $P=P_g+P_r$ であり、ガス圧の割合 $\beta =P_g/P$（$0<\beta \le 1$）は恒星内部のいたるところで一定であるとする。単位体積あたりの内部エネルギーは、ガスについては $\frac{3}{2}{P}_g$、放射については $3P_r$ とする。表面 $r=R$ で圧力は $0$ とし、回転・磁場は無視する。万有引力定数を $G$ とする。

重力ポテンシャルエネルギーと内部エネルギー（ガスと放射）の和として定義される恒星の全エネルギー $E$ を、$G,M,R,\beta$ を用いて表せ。

宇宙項がなく、圧力の無視できる物質だけを含む一様等方な宇宙を考える。空間の曲率は負（$k=-1$）であり、長さの次元をもつスケール因子 $a(t)$ は、各時刻における空間の曲率半径に等しくなるように選ぶ。このとき宇宙の膨張はフリードマン方程式
$$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k{c}^2}{a^2},H=\frac{\dot{a}}{a}$$
に従う。ここで $G$ は万有引力定数、$c$ は光速、$\rho$ は物質の質量密度である。

現在のハッブル定数を $H_0$ とし、現在の物質の密度は、ハッブル定数 $H_0$ に対する臨界密度（$k=0$ となる密度）のちょうど $\frac{3}{4}$ 倍であるとする。現在の空間の曲率半径 $a_0$ を $c$, $H_0$ を用いて表せ。

質量 $M$ の自転していない球対称な中性子星を考える。星の外部の時空はシュヴァルツシルト計量
$$d{s}^2=-\left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^{2}d{t}^2+{\left(1-\frac{r_s}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right)$$
で表されるとする。ここで $r_s=\frac{2GM}{c^2}$ はシュヴァルツシルト半径、$G$ は万有引力定数、$c$ は光速、$r$ は動径座標である。

星の表面（動径座標 $r=R$、$R>r_s$）に静止した原子が出した輝線を、星から十分遠方（$r\to \infty$）に静止した観測者が観測したところ、その波長は表面で静止した観測者が測る波長の $\frac{5}{4}$ 倍であった。星の自転・運動、および星と観測者の間の物質の影響は無視できるものとする。星の半径 $R$ を $G$, $M$, $c$ を用いて表せ。

自己重力で球対称に束縛され、静水圧平衡にある質量 $M$、半径 $R$ の静止したガス球（恒星のモデル）を考える。中心からの距離 $r$ における密度が
$$\rho (r)={\rho }_c\left(1-\frac{r}{R}\right)(0\le r\le R)$$
で与えられ、表面での圧力は $P(R)=0$ とする。ここで ${\rho }_c$ は中心密度（正の定数）である。万有引力定数を $G$ とし、自転・磁場・輻射圧の効果は考えない。

中心圧力を $P_c=P(0)$、体積平均圧力を
$$⟨P⟩=\frac{1}{V}{\int }_0^{R}P(r)4\pi r^{2}dr,V=\frac{4}{3}\pi R^3$$
とする。比 $\frac{P_c}{⟨P⟩}$ を既約分数で求めよ。