宇宙物理・宇宙論の問題

質量 $M$ の自転していない球対称な天体（ブラックホール）のまわりの時空は、シュヴァルツシルト計量
$$d{s}^2=-\left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^{2}d{t}^2+{\left(1-\frac{r_s}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right)$$
で表されるとする。ここで $r_s$ はシュヴァルツシルト半径 $r_s=\frac{2GM}{c^2}$、$G$ は万有引力定数、$c$ は光速である。

動径座標 $r$（$r>r_s$）の位置に静止した光源が、光源とともに静止した観測者が測って波長 ${\lambda }_0$ の光を出す。この光を、天体から十分遠方（$r\to \infty$）に静止した観測者が受け取ると、波長は $2{\lambda }_0$ であった。光源の位置の動径座標 $r$ を $G$, $M$, $c$ を用いて表せ。ただし、天体の質量はほかの天体の影響を受けず、光の伝わる経路上に物質はないものとする。

質量 $M$ の自転していない球対称なブラックホールのまわりの時空は、シュヴァルツシルト座標 $(t,r,\theta ,\varphi )$ を用いて
$$d{s}^2=-\left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^{2}d{t}^2+{\left(1-\frac{r_s}{r}\right)}^{-1}d{r}^2+r^2\left(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta d{\varphi }^2\right)$$
と表される。ここで $c$ は光速、$G$ は万有引力定数、$r_s=\frac{2GM}{c^2}$ はシュヴァルツシルト半径である。

動径座標 $r_A=\frac{3GM}{c^2}$ の位置に静止した観測者 A が、自分の固有時で測って振動数 ${\nu }_A$ の単色光を外向きに送り出し、同じ動径方向の $r_B=\frac{6GM}{c^2}$ の位置に静止した観測者 B がこの光を受け取る。B が自分の固有時で測った振動数を ${\nu }_B$ とし、赤方偏移を $z=\frac{{\nu }_A}{{\nu }_B}-1$ で定める。$z$ の値を、根号を用いた正確な形で求めよ。ただし、計量は時間 $t$ によらないので、光の山が A を出る座標時間の間隔と B に届く座標時間の間隔は等しいとしてよい。

質量 $M$ の球対称で回転していないブラックホールがある。万有引力定数を $G$、真空中の光速を $c$ とする。ブラックホールの中心から距離 $r=\frac{8GM}{3c^2}$ の位置に静止している光源が光を出し、その光を十分遠方（無限遠とみなせる）に静止している観測者が受け取る。シュヴァルツシルト半径を $r_s=\frac{2GM}{c^2}$ とし、静止した光源からの光の重力赤方偏移 $z$ は
$$1+z={\left(1-\frac{r_s}{r}\right)}^{-1/2}$$
で与えられるものとする。このときの赤方偏移 $z$ の値を求めよ。

宇宙項がなく、圧力の無視できる物質だけを含む一様等方な宇宙を考える。空間の曲率は負（$k=-1$）であり、長さの次元をもつスケール因子 $a(t)$ は、各時刻における空間の曲率半径に等しくなるように選ぶ。このとき宇宙の膨張はフリードマン方程式
$$H^2=\frac{8\pi G}{3}\rho -\frac{k{c}^2}{a^2},H=\frac{\dot{a}}{a}$$
に従う。ここで $G$ は万有引力定数、$c$ は光速、$\rho$ は物質の質量密度である。

現在のハッブル定数を $H_0$ とし、現在の物質の密度は、ハッブル定数 $H_0$ に対する臨界密度（$k=0$ となる密度）のちょうど $\frac{3}{4}$ 倍であるとする。現在の空間の曲率半径 $a_0$ を $c$, $H_0$ を用いて表せ。

半径 $R$ の球対称な星があり、その密度は星の内部のどこでも一定値 ${\rho }_0$ であるとする。星は静水圧平衡にあり、中心からの距離 $r$ における圧力 $P(r)$ は
$$\frac{dP}{dr}=-\frac{GM(r)\rho (r)}{r^2},M(r)={\int }_0^{r}4\pi r^{\prime 2}\rho (r^{\prime })d{r}^{\prime }$$
を満たす。ここで $G$ は万有引力定数、$M(r)$ は半径 $r$ の球の内側にある質量である。星の表面 $r=R$ で圧力は $0$ とする。このとき、星の中心 $r=0$ での圧力 $P_c$ を $G$, ${\rho }_0$, $R$ を用いて表せ。