光子のエネルギーと運動量

真空中での波長が $6.0\times 10^{-7}\text{m}$ の光がある。この光の光子 1 個がもつエネルギーは何 eV か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、プランク定数を $h=6.6\times 10^{-34}\text{J⋅s}$、真空中の光の速さを $c=3.0\times 10^8\text{m/s}$、電気素量を $e=1.6\times 10^{-19}\text{C}$ とし、$1\text{eV}=1.6\times 10^{-19}\text{J}$ とする。

真空中での波長が $6.0\times 10^{-7}\text{m}$ の光がある。この光の光子 1 個がもつエネルギーは何 eV か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、プランク定数を $h=6.6\times 10^{-34}\text{J⋅s}$、真空中の光の速さを $c=3.0\times 10^8\text{m/s}$ とし、$1\text{eV}=1.6\times 10^{-19}\text{J}$ とする。

真空中での振動数が $5.0\times 10^{14}\text{Hz}$ の光がある。この光の光子 1 個がもつ運動量の大きさは何 $\text{kg}\cdot \text{m/s}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、プランク定数を $h=6.6\times 10^{-34}\text{J}\cdot \text{s}$、真空中の光の速さを $c=3.0\times 10^8\text{m/s}$ とする。

質量 $m$ の粒子が、1 次元のポテンシャル
$$V(x)=\{\begin{array}{ll}0& (-a<x<a)\\ \infty & (|x|\geqq a)\end{array}$$
の中にある（$a>0$）。波動関数は $x=\pm a$ で $0$ になるとする。この粒子が、エネルギーの低い方から数えて 3 番目の定常状態から 2 番目の定常状態へ遷移するとき、光子を 1 個放出する。放出される光子の波長 $\lambda$ を、$m$, $a$, 換算プランク定数 $\hslash$, 真空中の光速 $c$ を用いて表せ。ただし、遷移の前後のエネルギー差はすべて光子のエネルギーになるものとし、光子のエネルギーは $E=2\pi \hslash c/\lambda$ で与えられるとする。

混晶半導体 ${\mathrm{In}}_x{\mathrm{Ga}}_{1-x}\mathrm{N}$（$0\le x\le 1$）は、組成 $x$ を変えることでバンドギャップ $E_{\mathrm{g}}$ を調節できる。$E_{\mathrm{g}}$ は次の式で表されるとする。
$$E_{\mathrm{g}}(x)=(1-x)E_{\mathrm{g}}(\mathrm{GaN})+x{E}_{\mathrm{g}}(\mathrm{InN})-bx(1-x)$$
ここで $E_{\mathrm{g}}(\mathrm{GaN})=3.40\mathrm{eV}$、$E_{\mathrm{g}}(\mathrm{InN})=0.70\mathrm{eV}$、ボーイングパラメーター $b=1.40\mathrm{eV}$ とする。

この混晶の光吸収端（バンド間吸収が始まる最も長い波長）を $450\mathrm{nm}$ にしたい。吸収端の光子エネルギーがバンドギャップ $E_{\mathrm{g}}$ に等しいとみなして、必要な組成 $x$ を有効数字 3 桁で求めよ。ただし、プランク定数 $h=6.626\times 10^{-34}\mathrm{J}\mathrm{s}$、真空中の光速 $c=2.998\times 10^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$、電気素量 $e=1.602\times 10^{-19}\mathrm{C}$ とし、波長は真空中の値とする。

光電管の陰極に、波長 $5.0\times 10^{-7}\text{m}$ の単色光を、毎秒 $2.0\times 10^{-3}\text{J}$ のエネルギー（仕事率 $2.0\text{mW}$）で当てたところ、光電効果が起こった。陰極に当たった光子のうち $1.0\%$ が、それぞれ 1 個ずつ光電子を飛び出させるものとする。陽極の電位を陰極より十分高くして、飛び出した光電子がすべて陽極に達するようにしたとき、光電管を流れる電流（飽和電流）の大きさは何 $\mu \text{A}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、プランク定数を $6.6\times 10^{-34}\text{J}\cdot \text{s}$、真空中の光の速さを $3.0\times 10^8\text{m/s}$、電気素量を $1.6\times 10^{-19}\text{C}$ とする。

原子炉から取り出した中性子を、速さのそろった平行な中性子線にして結晶に当て、その物質波（ド・ブロイ波）の回折を調べた。結晶の中で、ある格子面の間隔は $2.0\times 10^{-10}\text{m}$ である。中性子線がこの格子面となす角（視射角）を $0$ から少しずつ大きくしていくと、視射角が $30^{\circ }$ になったとき、はじめて強い反射が観測された。このときの中性子 1 個の運動エネルギーは何 $\text{eV}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、中性子の質量を $1.7\times 10^{-27}\text{kg}$、プランク定数を $6.6\times 10^{-34}\text{J}\cdot \text{s}$、電気素量を $1.6\times 10^{-19}\text{C}$ とし、中性子の速さは光の速さに比べて十分小さいものとする。中性子の物質波の波長は、運動量の大きさを $p$ として $\frac{h}{p}$（$h$ はプランク定数）で表される。

真空の光電管の陰極に、波長 $4.0\times 10^{-7}\mathrm{m}$ の単色光を、毎秒 $1.0\times 10^{-3}\mathrm{J}$ のエネルギー（仕事率 $1.0\times 10^{-3}\mathrm{W}$）で当てる。この光で陰極では光電効果が起こり、陰極に入射した光子 $50$ 個あたり平均 $1$ 個の割合で光電子が飛び出す。陽極には陰極に対して十分高い電位を与えてあり、飛び出した光電子はすべて陽極に達する。

このとき光電管を流れる電流（飽和電流）の大きさは何 A か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、プランク定数を $6.6\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$、真空中の光の速さを $3.0\times 10^{8}m/s$、電気素量を $1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$ とする。