量子力学（1 次元の問題）の問題

質量 $m$ の粒子が、1 次元のポテンシャル
$$V(x)=\{\begin{array}{ll}0& (0<x<L)\\ \infty & (x\le 0,x\ge L)\end{array}$$
の中に閉じこめられている（$L>0$）。$\hslash$ をディラック定数とする。この粒子のエネルギー固有値を小さい順に $E_1<E_2<E_3<\cdots$ とするとき、差 $E_3-E_2$ を $m$, $L$, $\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$、スピン $\frac{1}{2}$ の電子 $7$ 個が、1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャル
$$V(x)=\{\begin{array}{ll}0& (0<x<L)\\ \infty & (x\leqq 0,x\geqq L)\end{array}$$
の中に閉じ込められている（$L>0$）。電子どうしの相互作用は無視し、各電子は独立にこのポテンシャル中を運動するものとする。波動関数は $x=0$ と $x=L$ で $0$ になるとする。電子はフェルミ粒子であり、パウリの排他原理に従う（1 つの空間的な状態にはスピンの向きが異なる電子を最大 $2$ 個まで入れられる）。$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったものとする。

この $7$ 個の電子からなる系の基底状態の全エネルギーを、$m$, $L$, $\hslash$ を用いて求めよ。

質量 $m$ の粒子が、1 次元のポテンシャル
$$V(x)=\{\begin{array}{ll}\alpha \delta (x)& (|x|<a)\\ \infty & (|x|\geqq a)\end{array}(a>0,\alpha >0)$$
の中にある。これは、無限に深い井戸の中央に反発的なデルタ関数型ポテンシャルを置いたものである。$\delta (x)$ はディラックのデルタ関数であり、$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったものとする。波動関数は $x=\pm a$ で $0$ になり、$x=0$ で連続であるとする。

この粒子の基底状態のエネルギーが
$$E=\frac{9{\pi }^2{\hslash }^2}{32m{a}^2}$$
となるような $\alpha$ を、$m,a,\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$ の粒子が、1 次元のポテンシャル
$$V(x)=\{\begin{array}{ll}\infty & (x\leqq 0)\\ -V_0& (0<x<a)\\ 0& (x\geqq a)\end{array}(V_0>0,a>0)$$
の中を運動している。$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったものとする。波動関数は $x=0$ で $0$ となり、$x=a$ で波動関数とその導関数が連続であるとする。束縛状態とは、エネルギー $E$ が $-V_0<E<0$ を満たし、$x\to \infty$ で規格化可能な（$0$ に近づく）エネルギー固有状態のことである。

この系には、$V_0$ がある値 $V_{\mathrm{c}}$ より大きいときに限り、束縛状態が 2 つ以上存在する。$V_{\mathrm{c}}$ を $m,a,\hslash$ を用いて表せ。

1 次元の数直線上を運動する粒子が、ある時刻に次の波動関数で表される状態にある。
$$\psi (x)=\{\begin{array}{ll}A(a-|x|)e^{i{k}_{0}x}& (|x|<a)\\ 0& (|x|\geqq a)\end{array}$$
ここで $a>0$、$k_0$ は実数の定数、$A$ は正の実数の規格化定数である。$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの、運動量演算子は $\hat{p}=-i\hslash \frac{d}{dx}$ とする。

この状態における位置の標準偏差 $\Delta x=\sqrt{⟨x^2⟩-⟨x{⟩}^2}$ と運動量の標準偏差 $\Delta p=\sqrt{⟨p^2⟩-⟨p{⟩}^2}$ の積 $\Delta x\Delta p$ を、$\hslash$ を用いて表せ。