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量子力学（1 次元の問題）の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理量子力学（1 次元の問題）

質量 $m$ の粒子が、1 次元のポテンシャル
$V (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \infty - V_{0} 0 (x ≦ 0) (0 < x < a) (x ≧ a) (V_{0} > 0, a > 0)$
の中を運動している。 $ℏ$ はプランク定数を $2 π$ で割ったものとする。波動関数は $x = 0$ で $0$ となり、 $x = a$ で波動関数とその導関数が連続であるとする。束縛状態とは、エネルギー $E$ が $- V_{0} < E < 0$ を満たし、 $x \to \infty$ で規格化可能な（ $0$ に近づく）エネルギー固有状態のことである。

この系には、 $V_{0}$ がある値 $V_{c}$ より大きいときに限り、束縛状態が 2 つ以上存在する。 $V_{c}$ を $m, a, ℏ$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

有限の深さの井戸型ポテンシャルの束縛状態（説明と入口の問題）
時間に依存しないシュレーディンガー方程式と接続条件（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（108 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$0 < x < a$ では $ψ = A sin k x$ 、 $x > a$ では $ψ = B e^{- κ x}$ とおき、 $x = a$ での接続条件から $k$ と $κ$ の関係式を導く。

ヒント 2

接続条件から $k cot k a = - κ$ が得られる。 $ξ = k a, η = κa$ とおくと $ξ^{2} + η^{2} = \frac{2 m V _{0} a ^{2}}{ℏ ^{2}}$ となり、解の個数は円と曲線 $η = - ξ cot ξ$ の交点の個数で決まる。

ヒント 3

$η > 0$ となるのは $cot ξ < 0$ の区間だけで、 $n$ 番目の解の曲線は $ξ = \frac{( 2 n - 1 ) π}{2}$ で $η = 0$ から始まる。2 番目の解が現れるのは円の半径がいくらを超えたときかを考える。

答えと解説

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\frac{9 π ^{2} ℏ ^{2}}{8 m a ^{2}}

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解説を読む

束縛状態のエネルギーを $E (- V_{0} < E < 0)$ とし、
$k = \frac{2 m ( E + V _{0} )}{ℏ} > 0, κ = \frac{- 2 m E}{ℏ} > 0$
とおく。

波動関数 $0 < x < a$ ではシュレーディンガー方程式は $ψ^{''} = - k^{2} ψ$ で、 $ψ (0) = 0$ より $ψ = A sin k x$ 。 $x > a$ では $ψ^{''} = κ^{2} ψ$ で、 $x \to \infty$ で $0$ に近づく解は $ψ = B e^{- κ x}$ 。

接続条件 $x = a$ で $ψ$ と $ψ^{'}$ が連続なので
$A sin k a = B e^{- κa}, A k cos k a = - κ B e^{- κa} .$
2 式の比をとって
$k cot k a = - κ .$

無次元化 $ξ = k a, η = κa$ とおくと
$η = - ξ cot ξ, ξ^{2} + η^{2} = \frac{2 m V _{0} a ^{2}}{ℏ ^{2}} \equiv R^{2} (ξ > 0, η > 0) .$
$η = - ξ cot ξ > 0$ となるのは $cot ξ < 0$ 、すなわち $ξ$ が区間 $(\frac{π}{2}, π), (\frac{3 π}{2}, 2 π), \dots$ にあるときである。各区間 $(\frac{( 2 n - 1 ) π}{2}, nπ)$ で曲線 $η = - ξ cot ξ$ は $ξ = \frac{( 2 n - 1 ) π}{2}$ で $η = 0$ から始まり、 $ξ \to nπ$ で $η \to + \infty$ へ単調に増加する。したがって半径 $R$ の円 $ξ^{2} + η^{2} = R^{2}$ とこの区間の曲線が交わる（ $n$ 番目の束縛状態が存在する）ための条件は
$R > \frac{( 2 n - 1 ) π}{2} .$

2 つ以上の条件 2 番目の束縛状態が存在する条件は $R > \frac{3 π}{2}$ で、
$\frac{2 m V _{0} a ^{2}}{ℏ ^{2}} > \frac{9 π ^{2}}{4} ⟺ V_{0} > \frac{9 π ^{2} ℏ ^{2}}{8 m a ^{2}} .$
よって
$V_{c} = \frac{9 π ^{2} ℏ ^{2}}{8 m a ^{2}} .$
（参考: 束縛状態が 1 つ以上存在する条件は $V_{0} > \frac{π ^{2} ℏ ^{2}}{8 m a ^{2}}$ である。これは幅 $2 a$ の対称な有限井戸の奇関数の解と同じ条件になっている。）

別解

$- V_{0} < E < 0$ の束縛状態を考える。 $k = \frac{2 m ( E + V _{0} )}{ℏ}$ 、 $κ = \frac{- 2 m E}{ℏ}$ とおく。

$0 < x < a$ : $ψ = B sin k x$ （ $x = 0$ で $ψ = 0$ ）
$x > a$ : $ψ = C e^{- κ x}$ （ $x \to \infty$ で $0$ に近づく）

$x = a$ での $ψ$ と $ψ^{'}$ の連続から、対数微分を比べて
$k cot k a = - κ$

$ξ = k a$ 、 $η = κa$ とおくと $η = - ξ cot ξ$ 、かつ
$ξ^{2} + η^{2} = \frac{2 m V _{0} a ^{2}}{ℏ ^{2}} \equiv R^{2}$

$η > 0$ なので $cot ξ < 0$ 、つまり $ξ$ は $(\frac{π}{2}, π)$ , $(\frac{3 π}{2}, 2 π)$ , ... の範囲にある。曲線 $η = - ξ cot ξ$ は、 $ξ = \frac{π}{2}$ で $η = 0$ から始まり、 $ξ \to π$ で $η \to \infty$ となる。 $n$ 番目の枝は $ξ = (n - \frac{1}{2}) π$ で $η = 0$ から始まるので、円 $ξ^{2} + η^{2} = R^{2}$ とこの枝が交わる（束縛状態が $n$ 個以上ある）条件は
$R > (n - \frac{1}{2}) π$

束縛状態が 2 つ以上存在する条件は $n = 2$ より
$R > \frac{3 π}{2}$ 、すなわち $\frac{2 m V _{0} a ^{2}}{ℏ ^{2}} > \frac{9 π ^{2}}{4}$

$V_{0} > \frac{9 π ^{2} ℏ ^{2}}{8 m a ^{2}}$

よって $V_{c} = \frac{9 π ^{2} ℏ ^{2}}{8 m a ^{2}}$ 。

検算: $V_{0} = V_{c}$ のとき、 $E = 0$ （ $η = 0$ ）で $ξ = \frac{3 π}{2}$ 、 $cos ξ = 0$ となり $k cot k a = 0 = - κ$ が成り立つ。この点で 2 番目の状態が束縛状態になり始める。

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