量子力学（1 次元の問題）の問題

1. 固有状態 $b=\sqrt{\hslash /(m\omega )}$, $\xi =x/b$ とおく。

$x>0$ では通常の調和振動子と同じ方程式であり、境界条件 $\psi (0)=0$ を満たすのは奇数次の固有関数だけである。全空間の規格化固有関数を
$${\phi }_n=\frac{1}{\sqrt{2^{n}n!}}{\pi }^{-1/4}{b}^{-1/2}{H}_n(\xi )e^{-{\xi }^2/2}$$
とすると、半分の振動子の規格化固有関数は $u_n=\sqrt{2}{\phi }_n(x>0)$ である。ここで $n=1,3,5,\dots$、エネルギーは $E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega$ である。

$H_1=2\xi$, $H_3=8{\xi }^3-12\xi$ より、
$${\phi }_1={\pi }^{-1/4}{b}^{-1/2}\sqrt{2}\xi e^{-{\xi }^2/2},{\phi }_3={\pi }^{-1/4}{b}^{-1/2}\frac{2{\xi }^3-3\xi }{\sqrt{3}}{e}^{-{\xi }^2/2}$$

2. 初期状態の展開

$${\xi }^3=\frac{H_3}{8}+\frac{3}{4}{H}_1$$
より
$${\xi }^3{e}^{-{\xi }^2/2}\propto \frac{\sqrt{3}}{2}{\phi }_3+\frac{3}{2\sqrt{2}}{\phi }_1$$
となる。係数の 2 乗は $\frac{3}{4}$ と $\frac{9}{8}$ で、和は $\frac{15}{8}$ である。規格化すると
$$\psi (x,0)=c_1{u}_1+c_3{u}_3,c_1=\sqrt{\frac{3}{5}},c_3=\sqrt{\frac{2}{5}}$$
となる。時間発展は
$$\psi (x,t)=c_1{u}_1{e}^{-i{E}_{1}t/\hslash }+c_3{u}_3{e}^{-i{E}_{3}t/\hslash }$$
で与えられる。

3. 行列要素 $x_{nm}={\int }_0^{\infty }x{u}_n{u}_{m}dx$ を求める。

公式 ${\int }_0^{\infty }{\xi }^{2k+1}{e}^{-{\xi }^2}d\xi =\frac{k!}{2}$ を用いる。

• $x_{11}=\frac{4b}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^{\infty }{\xi }^3{e}^{-{\xi }^2}d\xi =\frac{2b}{\sqrt{\pi }}$
• $x_{33}=\frac{2b}{3\sqrt{\pi }}{\int }_0^{\infty }(4{\xi }^7-12{\xi }^5+9{\xi }^3)e^{-{\xi }^2}d\xi =\frac{2b}{3\sqrt{\pi }}\left(12-12+\frac{9}{2}\right)=\frac{3b}{\sqrt{\pi }}$
• $x_{13}=\frac{2\sqrt{2}b}{\sqrt{3\pi }}{\int }_0^{\infty }(2{\xi }^5-3{\xi }^3)e^{-{\xi }^2}d\xi =\frac{2\sqrt{2}b}{\sqrt{3\pi }}\cdot \frac{1}{2}=b\sqrt{\frac{2}{3\pi }}$

4. 期待値の時間変化

$E_3-E_1=2\hslash \omega$ なので、
$$⟨x⟩(t)=c_1^2{x}_{11}+c_3^2{x}_{33}+2c_1{c}_3{x}_{13}\cos 2\omega t$$
となる。各項を計算すると
$$c_1^2{x}_{11}+c_3^2{x}_{33}=\frac{3}{5}\cdot \frac{2b}{\sqrt{\pi }}+\frac{2}{5}\cdot \frac{3b}{\sqrt{\pi }}=\frac{12}{5}\frac{b}{\sqrt{\pi }}$$
$$2c_1{c}_3{x}_{13}=\frac{2\sqrt{6}}{5}\sqrt{\frac{2}{3}}\frac{b}{\sqrt{\pi }}=\frac{4}{5}\frac{b}{\sqrt{\pi }}$$
である。よって
$$⟨x⟩(t)=\frac{b}{5\sqrt{\pi }}\left(12+4\cos 2\omega t\right)$$

（検算：$t=0$ では $\frac{16b}{5\sqrt{\pi }}$ である。これは $b{\int }_0^{\infty }{\xi }^7{e}^{-{\xi }^2}d\xi /{\int }_0^{\infty }{\xi }^6{e}^{-{\xi }^2}d\xi =b\cdot 3/\frac{15\sqrt{\pi }}{16}$ と一致する。）

5. 最小値

最小値は $\cos 2\omega t=-1$（$t=\pi /(2\omega )$ など）のときにとり、
$$⟨x{⟩}_{\min }=\frac{8b}{5\sqrt{\pi }}=\frac{8}{5}\sqrt{\frac{\hslash }{\pi m\omega }}$$
である。

固有状態は全調和振動子の奇数番目 ${\phi }_n$ ($n=1,3,5,\dots$) で、半直線上では ${\psi }_n=\sqrt{2}{\phi }_n$、エネルギーは $E_n=(n+\frac{1}{2})\hslash \omega$ である。長さの単位を $a=\sqrt{\hslash /(m\omega )}$ とする。

1. 初期状態の展開。$x^3=\frac{1}{8}{H}_3+\frac{3}{4}{H}_1$ より、$x^3{e}^{-x^2/2}\propto \frac{\sqrt{3}}{2}{\phi }_3+\frac{3\sqrt{2}}{4}{\phi }_1$ となる。規格化すると、確率は $p_1=3/5$、$p_3=2/5$、振幅は $a_1=\sqrt{3/5}$、$a_3=\sqrt{2/5}$（ともに正）である。

2. 行列要素。$x_{nm}=2{\int }_0^{\infty }x{\phi }_n{\phi }_{m}dx$ を、${\phi }_1=\sqrt{2}x{e}^{-x^2/2}/{\pi }^{1/4}$、${\phi }_3=(2x^3-3x)e^{-x^2/2}/(\sqrt{3}{\pi }^{1/4})$ で計算する。${\int }_0^{\infty }{x}^k{e}^{-x^2}dx=\Gamma (\frac{k+1}{2})/2$ を使うと、
$x_{11}=2a/\sqrt{\pi }$、$x_{33}=3a/\sqrt{\pi }$、$x_{13}=a\sqrt{2/(3\pi )}$ を得る。

3. 期待値。$E_3-E_1=2\hslash \omega$ なので
$⟨x⟩=p_1{x}_{11}+p_3{x}_{33}+2a_1{a}_3{x}_{13}\cos 2\omega t$。
第1項と第2項の和は $\frac{6}{5\sqrt{\pi }}a+\frac{6}{5\sqrt{\pi }}a=\frac{12}{5\sqrt{\pi }}a$。
振動項の係数は $2a_1{a}_3{x}_{13}=\frac{2\sqrt{6}}{5}\sqrt{\frac{2}{3\pi }}a=\frac{4}{5\sqrt{\pi }}a$。

4. 最小値は $\cos 2\omega t=-1$ のときで、
$⟨x{⟩}_{\min }=\frac{12-4}{5\sqrt{\pi }}a=\frac{8}{5\sqrt{\pi }}\sqrt{\frac{\hslash }{m\omega }}$。

検算：$p_1+p_3=1$。また時間平均 $12/(5\sqrt{\pi })\approx 1.35a$ は、基底状態（$n=1$）の $⟨x⟩=2a/\sqrt{\pi }\approx 1.13a$ より大きく、妥当な値である。