演算子と期待値

1 次元の $x$ 軸上を運動する粒子の、ある時刻の波動関数が
$$\psi (x)=\{\begin{array}{ll}\sqrt{\frac{8}{3L}}{\sin }^2\frac{\pi x}{L}& (0\le x\le L)\\ 0& (x<0,x>L)\end{array}$$
で与えられている（$L>0$ は定数で、$\psi$ は規格化されている）。運動量演算子を $\hat{p}=-i\hslash \frac{d}{dx}$ とする（$\hslash$ はディラック定数）。この状態での運動量の 2 乗の期待値 $⟨p^2⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }{\psi }^{\ast }{\hat{p}}^2\psi dx$ を $\hslash$, $L$ を用いて表せ。

1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャル（$0<x<L$ で $V=0$、それ以外で $V=\infty$）の中にある粒子が、ある時刻に次の波動関数で表される状態にある。
$$\psi (x)=\{\begin{array}{ll}Ax(L-x)& (0\le x\le L)\\ 0& (x<0,x>L)\end{array}$$
ここで $L$ は正の定数、$A$ は正の実数の規格化定数である。この状態での位置の不確定性 $\Delta x=\sqrt{⟨x^2⟩-⟨x{⟩}^2}$ を $L$ を用いて表せ。

質量 $m$ の粒子が 1 次元のデルタ関数型の引力ポテンシャル
$$V(x)=-\alpha \delta (x)(\alpha >0)$$
の中にある。ハミルトニアンは $H=\frac{p^2}{2m}+V(x)$ である。

基底状態のエネルギーを、正のパラメータ $b$ を含む規格化された試行関数
$${\psi }_b(x)={\left(\frac{2b}{\pi }\right)}^{1/4}{e}^{-b{x}^2}$$
を使った変分法で見積もる。$⟨H⟩=⟨{\psi }_b|H|{\psi }_b⟩$ を $b>0$ について最小にした値を、$m,\alpha ,\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$ の粒子が、1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャル（$0<x<L$ で $V=0$、それ以外で $V=\infty$）の中で基底状態
$${\psi }_1(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{\pi x}{L}(0<x<L),{\psi }_1(x)=0(\text{それ以外})$$
にある。運動量演算子を $\hat{p}=-i\hslash \frac{d}{dx}$（$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの）とし、位置と運動量の標準偏差を $\Delta x=\sqrt{⟨x^2⟩-⟨x{⟩}^2}$, $\Delta p=\sqrt{⟨p^2⟩-⟨p{⟩}^2}$ で定める。この状態における積 $\Delta x\Delta p$ を $\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$、角振動数 $\omega$ の 1 次元調和振動子（ポテンシャル $V(x)=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$）を考える。規格化された実数のエネルギー固有関数を ${\phi }_n(x)$、対応するエネルギー固有値を $E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hslash \omega$（$n=0,1,2,\dots$）とする（$\hslash$ は換算プランク定数）。時刻 $t=0$ において粒子の状態が
$$\psi (x,0)=\frac{\sqrt{3}}{2}{\phi }_0(x)+\frac{1}{2}{\phi }_1(x)$$
であった。ただし
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{\phi }_{0}x{\phi }_{0}dx={\int }_{-\infty }^{\infty }{\phi }_{1}x{\phi }_{1}dx=0,{\int }_{-\infty }^{\infty }{\phi }_{0}x{\phi }_{1}dx=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}$$
である。位置の期待値 $⟨x⟩(t)$ が初めて $-\frac{1}{2}⟨x⟩(0)$ に等しくなる時刻 $t>0$ を、$\omega$ を用いて表せ。

1 次元の数直線上を運動する粒子が、ある時刻に次の波動関数で表される状態にある。
$$\psi (x)={\left(\frac{2a}{\pi }\right)}^{1/4}\exp \left[-(a-ib)x^2\right](-\infty <x<\infty )$$
ここで $a$ は正の定数、$b$ は実数の定数で、$\psi$ は規格化されている。$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの、運動量演算子は $\hat{p}=-i\hslash \frac{d}{dx}$ とする。必要なら、$\alpha >0$ に対して
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-\alpha x^2}dx=\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }},{\int }_{-\infty }^{\infty }{x}^2{e}^{-\alpha x^2}dx=\frac{1}{2\alpha }\sqrt{\frac{\pi }{\alpha }}$$
を用いてよい。

この状態での位置の標準偏差 $\Delta x$ と運動量の標準偏差 $\Delta p$ の積 $\Delta x\Delta p$ を、$a,b,\hslash$ を用いて表せ。

水素原子の電子を考える。原子核は静止しているとみなし、電子のスピンと相対論的効果は無視する。ボーア半径を $a$ とする。非摂動ハミルトニアン $H_0$ の $n=2$ の動径波動関数は、規格化された形で
$$R_{20}(r)=\frac{1}{\sqrt{2}}{a}^{-3/2}\left(1-\frac{r}{2a}\right)e^{-r/(2a)},R_{21}(r)=\frac{1}{\sqrt{24}}{a}^{-3/2}\frac{r}{a}{e}^{-r/(2a)}$$
で与えられる。固有関数は ${\psi }_{nlm}(r,\theta ,\varphi )=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta ,\varphi )$（$Y_{lm}$ は規格化された球面調和関数）である。

この原子に、球対称な摂動
$$V^{\prime }(r)=\frac{\beta }{r^2}(\beta >0\text{は定数})$$
が加わったとする。$\beta$ は十分小さく、$\beta$ の 1 次までの摂動論を用いてよい。このとき、$H_0$ のもとで縮退していた $n=2$ の準位（$2s$ と $2p$ の計 4 状態）は分裂する。$2s$ 準位のエネルギーから $2p$ 準位のエネルギーを引いた差 $E_{2s}-E_{2p}$ を、$\beta$ の 1 次までの精度で $\beta$ と $a$ を用いて表せ。

1 次元の数直線上を運動する粒子が、ある時刻に次の波動関数で表される状態にある。
$$\psi (x)=\{\begin{array}{ll}A(a-|x|)e^{i{k}_{0}x}& (|x|<a)\\ 0& (|x|\geqq a)\end{array}$$
ここで $a>0$、$k_0$ は実数の定数、$A$ は正の実数の規格化定数である。$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの、運動量演算子は $\hat{p}=-i\hslash \frac{d}{dx}$ とする。

この状態における位置の標準偏差 $\Delta x=\sqrt{⟨x^2⟩-⟨x{⟩}^2}$ と運動量の標準偏差 $\Delta p=\sqrt{⟨p^2⟩-⟨p{⟩}^2}$ の積 $\Delta x\Delta p$ を、$\hslash$ を用いて表せ。

水素原子の電子の状態を考える。原子核は静止しているとみなし、スピンは考えない。ボーア半径を $a$ とし、極座標 $(r,\theta ,\varphi )$ を用いると、規格化されたエネルギー固有関数のうち 2 つは
$${\psi }_{100}=\frac{1}{\sqrt{\pi a^3}}{e}^{-r/a},{\psi }_{211}=\frac{1}{8\sqrt{\pi a^3}}\frac{r}{a}{e}^{-r/(2a)}\sin \theta e^{i\varphi }$$
である。

電子が時刻 $t=0$ に状態
$$\Psi =\frac{1}{\sqrt{3}}{\psi }_{100}+\sqrt{\frac{2}{3}}{\psi }_{211}$$
にあるとき、時刻 $t(t\ge 0)$ における原子核と電子の距離 $r$ の期待値 $⟨r⟩$ を $a$ を用いて表せ。

1 次元の数直線上を運動する粒子が、ある時刻に次の波動関数で表される状態にある。
$$\psi (x)=\{\begin{array}{ll}A(a-|x|)e^{i{k}_{0}x}& (|x|<a)\\ 0& (|x|\geqq a)\end{array}$$
ここで $a$ は正の定数、$k_0$ は実数の定数、$A$ は正の実数の規格化定数である。$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの、運動量演算子は $\hat{p}=-i\hslash \frac{d}{dx}$ とする。$\psi$ は連続で、$x=0,\pm a$ を除いて微分可能なので、$⟨{\hat{p}}^2⟩$ は
$$⟨{\hat{p}}^2⟩={\hslash }^2{\int }_{-\infty }^{\infty }{\left|\frac{d\psi }{dx}\right|}^{2}dx$$
で計算してよい。

この状態での位置の標準偏差 $\Delta x=\sqrt{⟨{\hat{x}}^2⟩-⟨\hat{x}{⟩}^2}$ と運動量の標準偏差 $\Delta p=\sqrt{⟨{\hat{p}}^2⟩-⟨\hat{p}{⟩}^2}$ の積 $\Delta x\Delta p$ を、$\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$ の粒子が、次の 1 次元の「半分の調和振動子」ポテンシャルの中を運動している。
$$V(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2& (x>0)\\ \infty & (x\leqq 0)\end{array}(\omega >0)$$
$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったものとする。時刻 $t=0$ で、粒子の波動関数は
$$\psi (x,0)=\{\begin{array}{ll}A{x}^3\exp \left(-\frac{m\omega x^2}{2\hslash }\right)& (x>0)\\ 0& (x\leqq 0)\end{array}$$
であった。ここで $A$ は規格化定数（正の実数）である。その後、粒子はこのポテンシャルのもとでシュレーディンガー方程式に従って時間発展する。

位置の期待値 $⟨x⟩(t)$ の、$t\geqq 0$ における最小値を $m,\omega ,\hslash$ を用いて表せ。

1 次元の数直線上を運動する粒子が、ある時刻に次の波動関数で表される状態にある。
$$\psi (x)=\frac{A{e}^{i{k}_{0}x}}{x^2+a^2}(-\infty <x<\infty )$$
ここで $a$ は正の定数、$k_0$ は実数の定数、$A$ は規格化定数である。$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったものとし、運動量演算子は $\hat{p}=-i\hslash \frac{d}{dx}$ とする。

この状態における位置の不確かさ $\Delta x=\sqrt{⟨x^2⟩-⟨x{⟩}^2}$ と運動量の不確かさ $\Delta p=\sqrt{⟨p^2⟩-⟨p{⟩}^2}$ の積 $\Delta x\Delta p$ を、$\hslash$ を用いて表せ。必要なら、次の積分公式を用いてよい。
$${\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\sin }^2\theta d\theta =\frac{\pi }{2},{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\cos }^2\theta d\theta =\frac{\pi }{2},{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\sin }^2\theta {\cos }^4\theta d\theta =\frac{\pi }{16}$$

1 次元の数直線上を運動する粒子が、ある時刻に次の波動関数で表される状態にある。
$$\psi (x)=Ax{e}^{-\kappa |x|}(-\infty <x<\infty )$$
ここで $\kappa$ は正の定数、$A$ は規格化定数（正の実数）である。運動量演算子を $\hat{p}=-i\hslash \frac{d}{dx}$（$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの）とし、位置と運動量の標準偏差を $\Delta x=\sqrt{⟨x^2⟩-⟨x{⟩}^2}$, $\Delta p=\sqrt{⟨p^2⟩-⟨p{⟩}^2}$ で定める。この状態における積 $\Delta x\Delta p$ を $\hslash$ を用いて表せ。