量子力学（1 次元の問題）の問題

1 次元の数直線上を運動する粒子が、ある時刻に次の波動関数で表される状態にある。
$$\psi (x)=\{\begin{array}{ll}A(a-|x|)e^{i{k}_{0}x}& (|x|<a)\\ 0& (|x|\geqq a)\end{array}$$
ここで $a>0$、$k_0$ は実数の定数、$A$ は正の実数の規格化定数である。$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの、運動量演算子は $\hat{p}=-i\hslash \frac{d}{dx}$ とする。

この状態における位置の標準偏差 $\Delta x=\sqrt{⟨x^2⟩-⟨x{⟩}^2}$ と運動量の標準偏差 $\Delta p=\sqrt{⟨p^2⟩-⟨p{⟩}^2}$ の積 $\Delta x\Delta p$ を、$\hslash$ を用いて表せ。

1 次元の $x$ 軸上を運動する粒子の、ある時刻の波動関数が
$$\psi (x)=\{\begin{array}{ll}Ax(L-x)& (0\le x\le L)\\ 0& (x<0,x>L)\end{array}$$
で与えられている。ここで $L>0$ は定数、$A$ は正の実数の規格化定数である。この時刻に粒子の位置を測定したとき、粒子が区間 $0\le x\le \frac{L}{4}$ に見いだされる確率を、既約分数で求めよ。

1 次元の $x$ 軸上を運動する粒子の、ある時刻の波動関数が
$$\psi (x)=\{\begin{array}{ll}\sqrt{\frac{8}{3L}}{\sin }^2\frac{\pi x}{L}& (0\le x\le L)\\ 0& (x<0,x>L)\end{array}$$
で与えられている（$L>0$ は定数で、$\psi$ は規格化されている）。運動量演算子を $\hat{p}=-i\hslash \frac{d}{dx}$ とする（$\hslash$ はディラック定数）。この状態での運動量の 2 乗の期待値 $⟨p^2⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }{\psi }^{\ast }{\hat{p}}^2\psi dx$ を $\hslash$, $L$ を用いて表せ。

1 次元の数直線上を運動する粒子が、ある時刻に次の波動関数で表される状態にある。
$$\psi (x)=\{\begin{array}{ll}A(a-|x|)e^{i{k}_{0}x}& (|x|<a)\\ 0& (|x|\geqq a)\end{array}$$
ここで $a$ は正の定数、$k_0$ は実数の定数、$A$ は正の実数の規格化定数である。$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの、運動量演算子は $\hat{p}=-i\hslash \frac{d}{dx}$ とする。$\psi$ は連続で、$x=0,\pm a$ を除いて微分可能なので、$⟨{\hat{p}}^2⟩$ は
$$⟨{\hat{p}}^2⟩={\hslash }^2{\int }_{-\infty }^{\infty }{\left|\frac{d\psi }{dx}\right|}^{2}dx$$
で計算してよい。

この状態での位置の標準偏差 $\Delta x=\sqrt{⟨{\hat{x}}^2⟩-⟨\hat{x}{⟩}^2}$ と運動量の標準偏差 $\Delta p=\sqrt{⟨{\hat{p}}^2⟩-⟨\hat{p}{⟩}^2}$ の積 $\Delta x\Delta p$ を、$\hslash$ を用いて表せ。

質量 $m$ の粒子が、1 次元の無限に深い井戸型ポテンシャル（$0<x<L$ で $V=0$、それ以外で $V=\infty$）の中で基底状態
$${\psi }_1(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \frac{\pi x}{L}(0<x<L),{\psi }_1(x)=0(\text{それ以外})$$
にある。運動量演算子を $\hat{p}=-i\hslash \frac{d}{dx}$（$\hslash$ はプランク定数を $2\pi$ で割ったもの）とし、位置と運動量の標準偏差を $\Delta x=\sqrt{⟨x^2⟩-⟨x{⟩}^2}$, $\Delta p=\sqrt{⟨p^2⟩-⟨p{⟩}^2}$ で定める。この状態における積 $\Delta x\Delta p$ を $\hslash$ を用いて表せ。