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量子力学（1 次元の問題）の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学物理量子力学（1 次元の問題）

1 次元の $x$ 軸上を運動する粒子の、ある時刻の波動関数が
$ψ (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{8}{3 L} sin^{2} \frac{π x}{L} 0 (0 \leq x \leq L) (x < 0, x > L)$
で与えられている（ $L > 0$ は定数で、 $ψ$ は規格化されている）。運動量演算子を $p^= - i ℏ \frac{d}{d x}$ とする（ $ℏ$ はディラック定数）。この状態での運動量の 2 乗の期待値 $⟨ p^{2} ⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} ψ^{*} p^^{2} ψ d x$ を $ℏ$ , $L$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

演算子と期待値（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（83 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$⟨ p^{2} ⟩ = - ℏ^{2} \int ψ \frac{d ^{2} ψ}{d x ^{2}} d x$ を部分積分して $ℏ^{2} \int (\frac{d ψ}{d x})^{2} d x$ に直すと計算しやすい。

ヒント 2

2 倍角の公式で $\frac{d}{d x} sin^{2} \frac{π x}{L} = \frac{π}{L} sin \frac{2 π x}{L}$ となる。 $ψ$ は実数なので $ψ^{*} = ψ$ 。

ヒント 3

$⟨ p^{2} ⟩ = ℏ^{2} \cdot \frac{8}{3 L} \cdot \frac{π ^{2}}{L ^{2}} \int_{0}^{L} sin^{2} \frac{2 π x}{L} d x$ を計算する。

答えと解説

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\frac{4 π ^{2} ℏ ^{2}}{3 L ^{2}}

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解説を読む

$A = \frac{8}{3 L}$ とおく。 $ψ$ は実数値なので $ψ^{*} = ψ$ である。

（確かめ）規格化　 $sin^{4} θ = \frac{3 - 4 cos 2 θ + cos 4 θ}{8}$ より $\int_{0}^{L} sin^{4} \frac{π x}{L} d x = \frac{3 L}{8}$ なので、 $A^{2} \cdot \frac{3 L}{8} = 1$ となり規格化されている。

部分積分で書きかえる　 $p^^{2} = - ℏ^{2} \frac{d ^{2}}{d x ^{2}}$ なので
$⟨ p^{2} ⟩ = - ℏ^{2} \int_{- \infty}^{\infty} ψ \frac{d ^{2} ψ}{d x ^{2}} d x = - ℏ^{2} [ψ \frac{d ψ}{d x}]_{- \infty}^{\infty} + ℏ^{2} \int_{- \infty}^{\infty} (\frac{d ψ}{d x})^{2} d x$
$ψ$ は遠方で $0$ なので境界項は消え、 $⟨ p^{2} ⟩ = ℏ^{2} \int (\frac{d ψ}{d x})^{2} d x$ となる。なお、この $ψ$ は $x = 0, L$ で値も傾きも $0$ につながる（ $\frac{d ψ}{d x}$ が連続）ので、 $\frac{d ^{2} ψ}{d x ^{2}}$ に $δ$ 関数のような項は現れず、直接計算しても同じ結果になる。

導関数　 $0 \leq x \leq L$ で
$\frac{d ψ}{d x} = A \cdot 2 sin \frac{π x}{L} cos \frac{π x}{L} \cdot \frac{π}{L} = \frac{A π}{L} sin \frac{2 π x}{L}$
で、区間の外では $0$ である。

積分
$⟨ p^{2} ⟩ = ℏ^{2} \cdot \frac{A ^{2} π ^{2}}{L ^{2}} \int_{0}^{L} sin^{2} \frac{2 π x}{L} d x = ℏ^{2} \cdot \frac{A ^{2} π ^{2}}{L ^{2}} \cdot \frac{L}{2}$
$A^{2} = \frac{8}{3 L}$ を代入して
$⟨ p^{2} ⟩ = ℏ^{2} \cdot \frac{8}{3 L} \cdot \frac{π ^{2}}{L ^{2}} \cdot \frac{L}{2} = \frac{4 π ^{2} ℏ ^{2}}{3 L ^{2}}$

（参考: 同じ区間の基底状態 $2/ L sin (π x / L)$ では $⟨ p^{2} ⟩ = π^{2} ℏ^{2} / L^{2}$ で、この状態はその $\frac{4}{3}$ 倍になる。）

別解

$N = 8/ (3 L)$ とおく。規格化の確認: $\int_{0}^{L} sin^{4} \frac{π x}{L} d x = \frac{3 L}{8}$ より $N^{2} \cdot \frac{3 L}{8} = 1$ 。 $ψ$ と $ψ^{'}$ は $x = 0, L$ で連続（ $ψ^{'} = N \frac{π}{L} sin \frac{2 π x}{L}$ は両端で $0$ ）なので、 $ψ^{''}$ に $δ$ 関数は現れず、部分積分で $⟨ p^{2} ⟩ = ℏ^{2} \int ∣ ψ^{'} ∣^{2} d x$ としてよい。 $\int_{0}^{L} ∣ ψ^{'} ∣^{2} d x = N^{2} \frac{π ^{2}}{L ^{2}} \int_{0}^{L} sin^{2} \frac{2 π x}{L} d x = \frac{8}{3 L} \cdot \frac{π ^{2}}{L ^{2}} \cdot \frac{L}{2} = \frac{4 π ^{2}}{3 L ^{2}}$ 。よって $⟨ p^{2} ⟩ = \frac{4 π ^{2} ℏ ^{2}}{3 L ^{2}}$ 。検算: $ψ^{''} = N \frac{2 π ^{2}}{L ^{2}} cos \frac{2 π x}{L}$ から $- ℏ^{2} \int ψ ψ^{''} d x = - ℏ^{2} N^{2} \frac{2 π ^{2}}{L ^{2}} \int sin^{2} \frac{π x}{L} cos \frac{2 π x}{L} d x$ 。 $sin^{2} θ = \frac{1 - c o s 2 θ}{2}$ より積分は $- \frac{L}{4}$ 。結果 $ℏ^{2} \cdot \frac{8}{3 L} \cdot \frac{2 π ^{2}}{L ^{2}} \cdot \frac{L}{4} = \frac{4 π ^{2} ℏ ^{2}}{3 L ^{2}}$ で一致する。

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