物質波（ド・ブロイ波）

粒子の物質波の波長 $λ = \frac{h}{m v} = \frac{h}{2 m K}$ を求め、電圧 $V$ で加速した電子では $λ = \frac{h}{2 m e V}$ を使える。波長から運動エネルギーも逆算できる

前提

光子のエネルギーと運動量（高校物理原子）
根号を含む式の計算と分母の有理化（数学I 数と式）
運動エネルギーと仕事の関係（高校物理仕事・エネルギーと運動量）

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算数中学高校大学大学院

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運動エネルギーと仕事の関係（高校物理仕事・エネルギーと運動量）

説明

電子のような粒子も、波としての性質（物質波、ド・ブロイ波）をもちます。この技能を身につけると、粒子の質量と速さ、または運動エネルギーからその波長を求められます。電圧で加速した電子の波長を求める場面や、逆に波長から運動エネルギーを求める場面で使います。電子線が結晶で回折する現象など、粒子の波としてのふるまいを数量で扱う基本になります。

なぜそうしてよいのか

光子では、波長 $λ$ と運動量 $p$ の間に $p = \frac{h}{λ}$ の関係がありました。ド・ブロイは、この関係が光だけでなく、質量をもつ粒子にも成り立つと考えました。つまり運動量 $p = m v$ の粒子には、 $λ = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v}$ の波長の波がともなうとしたのです。これは仮説として出されましたが、電子線を結晶に当てると波と同じ回折が起こり、その波長がこの式とよく一致することが実験で確かめられています。

運動エネルギー $K = \frac{1}{2} m v^{2}$ が与えられたときは、運動量に書き直します。 $K = \frac{( m v ) ^{2}}{2 m} = \frac{p ^{2}}{2 m}$ なので $p^{2} = 2 m K$ 、 $p > 0$ より $p = 2 m K$ です。よって $λ = \frac{h}{2 m K}$ となります。

静止していた電子（電気量の大きさ $e$ ）を電圧 $V$ で加速すると、電場が電子にする仕事は $e V$ です。運動エネルギーと仕事の関係 $\frac{1}{2} m v^{2} - 0 = e V$ から $K = e V$ となり、 $λ = \frac{h}{2 m e V}$ が得られます。なお、これらの式は粒子の速さが光の速さ $c$ よりずっと小さい場合（ $K = \frac{1}{2} m v^{2}$ が使える場合）に使います。

手順

粒子について、与えられている量が速さ $v$ か、運動エネルギー $K$ か、加速電圧 $V$ かを確かめる。
運動エネルギーは単位を J にそろえる。eV で与えられていれば $1 eV = e [J]$ で換算する。静止から電圧 $V$ で加速した電子なら $K = e V$ とする。
運動量を求める。速さがわかれば $p = m v$ 、運動エネルギーがわかれば $p = 2 m K$ 。
波長を $λ = \frac{h}{p}$ で求める。電圧 $V$ で加速した電子なら直接 $λ = \frac{h}{2 m e V}$ を使ってよい。
波長から運動エネルギーを逆算するときは、 $λ = \frac{h}{2 m K}$ を $K$ について解き、 $K = \frac{h ^{2}}{2 m λ ^{2}}$ とする。

例題

静止していた電子を、電圧 $150 V$ で加速した。加速後の電子の物質波の波長は何 m か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、プランク定数を $h = 6.6 \times 1 0^{- 34} J\cdots$ 、電子の質量を $m = 9.1 \times 1 0^{- 31} kg$ 、電気素量を $e = 1.6 \times 1 0^{- 19} C$ とし、電子の速さは光の速さよりじゅうぶん小さいものとする。

例題の解答

手順1：与えられているのは加速電圧 $V = 150 V$ で、電子ははじめ静止している。

手順2：運動エネルギーと仕事の関係より、加速後の運動エネルギーは $K = e V = 1.6 \times 1 0^{- 19} \times 150 = 2.4 \times 1 0^{- 17} J$ 。

手順3：運動量は $p = 2 m K = 2 \times 9.1 \times 1 0^{- 31} \times 2.4 \times 1 0^{- 17} = 43.68 \times 1 0^{- 48} \approx 6.61 \times 1 0^{- 24} kg\cdotm/s$ 。

手順4：波長は $λ = \frac{h}{p} = \frac{6.6 \times 1 0 ^{- 34}}{6.61 \times 1 0 ^{- 24}} \approx 0.999 \times 1 0^{- 10} m$ となる。有効数字 2 桁に丸めて $1.0 \times 1 0^{- 10} m$ 。これは原子の間隔と同じくらいの長さで、電子線が結晶で回折することと合っている。

答え: $1.0 \times 1 0^{- 10}$

よくある誤り

電子にも光子の式 $E = \frac{h c}{λ}$ を使い、 $λ = \frac{h c}{K}$ としてしまう誤り。この式は光子だけに成り立つ。正しくは粒子では $λ = \frac{h}{p}$ を使い、 $λ = \frac{h}{2 m K}$ とする。
運動量を $p = m K$ や $p = 2 m K$ としてしまう誤り。正しくは $K = \frac{p ^{2}}{2 m}$ から $p = 2 m K$ で、係数 2 と根号を両方つける。
加速した電子の式で $e V$ の代わりに $V$ を入れ、 $λ = \frac{h}{2 mV}$ としてしまう誤り。電圧 $V$ はエネルギーではない。正しくは運動エネルギー $K = e V [J]$ を使って $λ = \frac{h}{2 m e V}$ 。運動エネルギーが eV で与えられたときも、 $e$ を掛けて J に直してから代入する。
波長から運動エネルギーを逆算するとき、 $K = \frac{h ^{2}}{2 mλ}$ のように $λ$ を 2 乗し忘れる誤り。正しくは $λ^{2} = \frac{h ^{2}}{2 m K}$ より $K = \frac{h ^{2}}{2 m λ ^{2}}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

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