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原子の問題

難易度 1教科書の例題レベル高校物理原子

真空中を一定の速さで運動している電子があり、その物質波（ド・ブロイ波）の波長は $λ$ であった。電子の質量を $m$ 、プランク定数を $h$ とする。この電子の運動エネルギー $K$ を、 $m$ , $h$ , $λ$ を用いて表せ。ただし、電子の速さは光の速さに比べて十分小さく、運動エネルギーは $\frac{1}{2} m v^{2}$ で表されるものとする。

この問題で使うもの

物質波（ド・ブロイ波）（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（50 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

物質波（ド・ブロイ波）の波長と運動量の関係 $λ = \frac{h}{m v}$ を使い、波長から運動エネルギーを逆算します。

ヒント 2

$λ = \frac{h}{m v}$ から $v$ を $h$ , $m$ , $λ$ で表し、 $K = \frac{1}{2} m v^{2}$ に代入します。（または $λ = \frac{h}{2 m K}$ を $K$ について解きます。）

ヒント 3

$v = \frac{h}{mλ}$ なので、 $K = \frac{1}{2} m (\frac{h}{mλ})^{2}$ を整理します。

答えと解説

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\frac{h ^{2}}{2 m λ ^{2}}

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解説を読む

物質波の波長 $λ$ と、粒子の運動量の大きさ $p = m v$ の間には、ド・ブロイの関係式
$λ = \frac{h}{m v}$
が成り立つ。

手順1：速さ $v$ を求める。
式を $v$ について解くと
$v = \frac{h}{mλ}$

手順2：運動エネルギーに代入する。
$K = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} m (\frac{h}{mλ})^{2} = \frac{1}{2} m \cdot \frac{h ^{2}}{m ^{2} λ ^{2}} = \frac{h ^{2}}{2 m λ ^{2}}$

（別解） $λ = \frac{h}{2 m K}$ の両辺を 2 乗すると $λ^{2} = \frac{h ^{2}}{2 m K}$ となり、これを $K$ について解いても $K = \frac{h ^{2}}{2 m λ ^{2}}$ が得られる。

よって
$K = \frac{h ^{2}}{2 m λ ^{2}}$

別解

ド・ブロイ波長の関係式 $λ = \frac{h}{m v}$ より、電子の速さは $v = \frac{h}{mλ}$ である。
運動エネルギーは $K = \frac{1}{2} m v^{2}$ なので、
$K = \frac{1}{2} m (\frac{h}{mλ})^{2} = \frac{h ^{2}}{2 m λ ^{2}}$
検算：運動量 $p = m v = h / λ$ を用いると $K = \frac{p ^{2}}{2 m} = \frac{h ^{2}}{2 m λ ^{2}}$ となり、一致する。次元も $[h] = J \cdot s$ なので $h^{2} / (m λ^{2}) = J^{2} s^{2} / (kg m^{2}) = J$ となり、エネルギーの次元になる。

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