原子の問題

静止していた電子を、電圧 $150\text{V}$ で加速した。加速後の電子の物質波（ド・ブロイ波）の波長は何 m か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、プランク定数を $h=6.6\times 10^{-34}\text{J⋅s}$、電子の質量を $m=9.1\times 10^{-31}\text{kg}$、電気素量を $e=1.6\times 10^{-19}\text{C}$ とし、相対論的な効果は無視する。

真空中を一定の速さで運動している電子があり、その物質波（ド・ブロイ波）の波長は $\lambda$ であった。電子の質量を $m$、プランク定数を $h$ とする。この電子の運動エネルギー $K$ を、$m$, $h$, $\lambda$ を用いて表せ。ただし、電子の速さは光の速さに比べて十分小さく、運動エネルギーは $\frac{1}{2}m{v}^2$ で表されるものとする。

X 線管で、陰極から出た電子を加速電圧 $2.0\times 10^4\text{V}$ で加速し、陽極（ターゲット）に衝突させて X 線を発生させる。陰極を出るときの電子の速さは $0$ とみなす。発生する連続 X 線の最短波長は何 m か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、プランク定数を $h=6.6\times 10^{-34}\text{J⋅s}$、真空中の光の速さを $c=3.0\times 10^8\text{m/s}$、電気素量を $e=1.6\times 10^{-19}\text{C}$ とする。

X 線管で、陰極から出た電子を電圧 $V$ で加速し、陽極（ターゲット）に衝突させて X 線を発生させた。陰極を出るときの電子の速さは $0$ とみなす。発生した連続 X 線のスペクトルを調べると、最短波長は $3.1\times 10^{-11}\text{m}$ であった。

加速電圧 $V$ は何 V か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、プランク定数を $h=6.6\times 10^{-34}\text{J⋅s}$、真空中の光の速さを $c=3.0\times 10^8\text{m/s}$、電気素量を $e=1.6\times 10^{-19}\text{C}$ とする。

ボーアの水素原子模型を考える。質量 $m$、電気量 $-e$ の電子が、静止している電気量 $+e$ の陽子を中心として、半径 $r$、速さ $v$ の等速円運動をしている。電子にはたらく力は陽子からの静電気力だけとし、クーロンの法則の比例定数を $k$、プランク定数を $h$ とする。

ボーアの量子条件は、「電子の軌道の円周の長さ $2\pi r$ が、電子の物質波（ド・ブロイ波）の波長 $\lambda$ の整数倍になる」という条件
$$2\pi r=n\lambda (n=1,2,3,\dots )$$
で表される。量子数 $n$ の軌道をまわる電子の速さ $v$ を、$k$, $e$, $h$, $n$ を用いて表せ。