原子の問題

ボーアの水素原子模型を考える。静止した陽子（電気量 $+e$）のまわりを、質量 $m$、電気量 $-e$ の電子が、陽子を中心とする半径 $r$ の等速円運動をしている。電子にはたらく力は陽子からの静電気力だけとし、その大きさはクーロンの法則の比例定数 $k$ を用いて $\frac{k{e}^2}{r^2}$ で表される。また、電子の速さを $v$ とすると、電子の軌道は量子条件
$$mvr=n\frac{h}{2\pi }(n=1,2,3,\dots )$$
を満たすものとする。ここで $h$ はプランク定数、$n$ は正の整数（量子数）である。

量子数 $n$ の軌道の半径 $r$ を、$n$, $h$, $k$, $m$, $e$, $\pi$ を用いて表せ。

ボーアの水素原子模型を考える。電荷 $+e$ の原子核（陽子）は静止しているものとし、そのまわりを質量 $m$、電荷 $-e$ の電子が、原子核を中心とする半径 $r$ の等速円運動をしている。電子にはたらく力は原子核からの静電気力だけとし、クーロンの法則の比例定数を $k$、プランク定数を $h$ とする。電子の速さを $v$ とすると、ボーアの量子条件は、正の整数 $n$（量子数）を用いて
$$mvr=n\frac{h}{2\pi }$$
と表される。量子数 $n=2$ の軌道の半径 $r$ を、$m$, $e$, $k$, $h$ を用いて表せ。

ボーアの水素原子模型では、質量 $m$、電気量 $-e$（$e>0$）の電子が、静止している電気量 $+e$ の陽子のまわりを、陽子を中心とする半径 $r$ の等速円運動をしていると考える。電子が受ける力は陽子からの静電気力（クーロン力）だけとし、クーロンの法則の比例定数を $k$ とする。また、プランク定数を $h$ として、電子の運動は量子条件
$$2\pi r\cdot mv=nh(n=1,2,3,\dots )$$
を満たすものとする。ここで $v$ は電子の速さ、$n$ は量子数である。

量子数 $n=2$ の定常状態にある電子の速さ $v$ を、$k$, $e$, $h$ を用いて表せ。

ボーアの水素原子模型では、質量 $m$、電気量 $-e$ の電子が、静止している陽子（電気量 $+e$）を中心とする半径 $r$ の等速円運動をしていると考える。電子が受ける力は陽子からのクーロン力だけとし、クーロンの法則の比例定数を $k$ とする。また、電子の速さを $v$、プランク定数を $h$ として、電子は量子条件
$$mvr=\frac{nh}{2\pi }(n=1,2,3,\dots )$$
を満たす軌道だけを運動できるものとする。

量子数 $n=3$ の軌道を電子が 1 周する時間は、量子数 $n=1$ の軌道を電子が 1 周する時間の何倍か。

ボーアの水素原子模型を考える。電気量 $+e$ の原子核（陽子）は静止しているとみなす。質量 $m$、電気量 $-e$ の電子は、原子核を中心とする半径 $r$ の等速円運動をしているとする。電子は原子核から受ける静電気力を向心力として運動する。静電気力による位置エネルギーは無限遠を基準とし、$-\frac{k{e}^2}{r}$ と表される。ここで $k$ はクーロンの法則の比例定数である。また電子の速さを $v$、プランク定数を $h$ とすると、量子条件 $mvr=n\frac{h}{2\pi }$（$n$ は正の整数）が成り立つ。

基底状態（$n=1$）にある水素原子をイオン化する（電子を無限遠まで引き離し、そこで静止させる）のに必要な最小のエネルギーを、$k$, $m$, $e$, $h$ を用いて表せ。