原子の問題

難易度 1教科書の例題レベル高校物理原子

ボーアの水素原子模型を考える。電気量 $+ e$ の原子核（陽子）は静止しているとみなす。質量 $m$ 、電気量 $- e$ の電子は、原子核を中心とする半径 $r$ の等速円運動をしているとする。電子は原子核から受ける静電気力を向心力として運動する。静電気力による位置エネルギーは無限遠を基準とし、 $- \frac{k e ^{2}}{r}$ と表される。ここで $k$ はクーロンの法則の比例定数である。また電子の速さを $v$ 、プランク定数を $h$ とすると、量子条件 $m v r = n \frac{h}{2 π}$ （ $n$ は正の整数）が成り立つ。

基底状態（ $n = 1$ ）にある水素原子をイオン化する（電子を無限遠まで引き離し、そこで静止させる）のに必要な最小のエネルギーを、 $k$ , $m$ , $e$ , $h$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

水素原子のエネルギー準位（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（52 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

「水素原子のエネルギー準位」の技能を使います。電子の運動エネルギーと静電気力による位置エネルギー（無限遠基準）の和を求め、イオン化後の全エネルギー $0$ との差を考えましょう。

ヒント 2

向心力の式 $\frac{m v ^{2}}{r} = \frac{k e ^{2}}{r ^{2}}$ から $\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{k e ^{2}}{2 r}$ が得られます。これを使うと、全エネルギーは $E = - \frac{k e ^{2}}{2 r}$ と表せます。

ヒント 3

量子条件と向心力の式から、軌道半径は $r_{1} = \frac{h ^{2}}{4 π ^{2} k m e ^{2}}$ となります。これを $E = - \frac{k e ^{2}}{2 r}$ に代入して $E_{1}$ を求めましょう。

答えと解説

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\frac{2 π ^{2} k ^{2} m e ^{4}}{h ^{2}}

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解説を読む

手順 1：運動エネルギーを $r$ で表す

静電気力が向心力になるので、円運動の運動方程式は
$\frac{m v ^{2}}{r} = \frac{k e ^{2}}{r ^{2}}$
である。両辺に $\frac{r}{2}$ を掛けると
$\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{k e ^{2}}{2 r}$
となる。

手順 2：全エネルギー $E$ を $r$ で表す

位置エネルギーは $- \frac{k e ^{2}}{r}$ なので、全エネルギーは
$E = \frac{k e ^{2}}{2 r} - \frac{k e ^{2}}{r} = - \frac{k e ^{2}}{2 r}$
である。

手順 3：軌道半径を代入する

量子条件から $v = \frac{nh}{2 π m r}$ である。これを運動方程式 $m v^{2} r = k e^{2}$ に代入すると
$m \cdot \frac{n ^{2} h ^{2}}{4 π ^{2} m ^{2} r ^{2}} \cdot r = k e^{2}$
となり、 $r$ について解くと
$r_{n} = \frac{h ^{2}}{4 π ^{2} k m e ^{2}} n^{2}$
が得られる。 $n = 1$ のときは $r_{1} = \frac{h ^{2}}{4 π ^{2} k m e ^{2}}$ である。

これを手順 2 の式に代入すると、基底状態のエネルギーは
$E_{1} = - \frac{k e ^{2}}{2} \cdot \frac{4 π ^{2} k m e ^{2}}{h ^{2}} = - \frac{2 π ^{2} k ^{2} m e ^{4}}{h ^{2}}$
となる。

手順 4：イオン化エネルギーを求める

電子を無限遠で静止させたときの全エネルギーは、運動エネルギーも位置エネルギーも $0$ なので $0$ である。したがって、必要な最小のエネルギーは
$0 - E_{1} = \frac{2 π ^{2} k ^{2} m e ^{4}}{h ^{2}}$
である。

別解

向心力の式より $m \frac{v ^{2}}{r} = \frac{k e ^{2}}{r ^{2}}$ なので $m v^{2} = \frac{k e ^{2}}{r}$ である。
量子条件 $m v r = \frac{nh}{2 π}$ から $v = \frac{nh}{2 π m r}$ なので、 $m \frac{n ^{2} h ^{2}}{4 π ^{2} m ^{2} r ^{2}} = \frac{k e ^{2}}{r}$ となる。
これを $r$ について解くと $r = \frac{n ^{2} h ^{2}}{4 π ^{2} k m e ^{2}}$ である。
運動エネルギーは $\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{k e ^{2}}{2 r}$ である。
力学的エネルギーは $E = \frac{k e ^{2}}{2 r} - \frac{k e ^{2}}{r} = - \frac{k e ^{2}}{2 r}$ となる。
これに $r$ を代入すると $E_{n} = - \frac{2 π ^{2} k ^{2} m e ^{4}}{n ^{2} h ^{2}}$ である。
$n = 1$ では $E_{1} = - \frac{2 π ^{2} k ^{2} m e ^{4}}{h ^{2}}$ となる。
イオン化では、電子を無限遠で静止させたときの全エネルギー 0 にするので、必要な最小エネルギーは $0 - E_{1} = \frac{2 π ^{2} k ^{2} m e ^{4}}{h ^{2}}$ である。
検算として、 $k = 9.0 \times 1 0^{9}$ , $m = 9.11 \times 1 0^{- 31}$ , $e = 1.6 \times 1 0^{- 19}$ , $h = 6.63 \times 1 0^{- 34}$ を代入する。分子は $2 \times 9.87 \times 8.1 \times 1 0^{19} \times 9.11 \times 1 0^{- 31} \times 6.55 \times 1 0^{- 76} \approx 9.5 \times 1 0^{- 85}$ 、分母は $4.40 \times 1 0^{- 67}$ なので、およそ $2.2 \times 1 0^{- 18}$ J となる。これは約 13.6 eV に一致する。

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