原子の問題

ボーアの水素原子模型を考える。静止した陽子（電気量 $+e$）のまわりを、質量 $m$、電気量 $-e$ の電子が、陽子を中心とする半径 $r$ の等速円運動をしている。電子にはたらく力は陽子からの静電気力だけとし、その大きさはクーロンの法則の比例定数 $k$ を用いて $\frac{k{e}^2}{r^2}$ で表される。また、電子の速さを $v$ とすると、電子の軌道は量子条件
$$mvr=n\frac{h}{2\pi }(n=1,2,3,\dots )$$
を満たすものとする。ここで $h$ はプランク定数、$n$ は正の整数（量子数）である。

量子数 $n$ の軌道の半径 $r$ を、$n$, $h$, $k$, $m$, $e$, $\pi$ を用いて表せ。

ボーアの水素原子模型を考える。質量 $m$、電気量 $-e$ の電子が、静止している電気量 $+e$ の陽子を中心として、半径 $r$、速さ $v$ の等速円運動をしている。電子にはたらく力は陽子からの静電気力だけとし、クーロンの法則の比例定数を $k$、プランク定数を $h$ とする。

ボーアの量子条件は、「電子の軌道の円周の長さ $2\pi r$ が、電子の物質波（ド・ブロイ波）の波長 $\lambda$ の整数倍になる」という条件
$$2\pi r=n\lambda (n=1,2,3,\dots )$$
で表される。量子数 $n$ の軌道をまわる電子の速さ $v$ を、$k$, $e$, $h$, $n$ を用いて表せ。

ボーアの水素原子模型を考える。電気量 $+e$ の原子核（陽子）は静止しているとみなす。質量 $m$、電気量 $-e$ の電子は、原子核を中心とする半径 $r$ の等速円運動をしているとする。電子は原子核から受ける静電気力を向心力として運動する。静電気力による位置エネルギーは無限遠を基準とし、$-\frac{k{e}^2}{r}$ と表される。ここで $k$ はクーロンの法則の比例定数である。また電子の速さを $v$、プランク定数を $h$ とすると、量子条件 $mvr=n\frac{h}{2\pi }$（$n$ は正の整数）が成り立つ。

基底状態（$n=1$）にある水素原子をイオン化する（電子を無限遠まで引き離し、そこで静止させる）のに必要な最小のエネルギーを、$k$, $m$, $e$, $h$ を用いて表せ。

電気量 $+Ze$（$Z$ は正の整数）の原子核のまわりを、質量 $m$、電気量 $-e$ の電子 1 個が、原子核を中心とする半径 $r$ の等速円運動をしている原子（イオン）を考える。原子核は静止しているものとし、クーロンの法則の比例定数を $k$、プランク定数を $h$ とする。電子の円運動はボーアの量子条件 $mvr=n\frac{h}{2\pi }$（$n=1,2,3,\cdots$、$v$ は電子の速さ）を満たすものとし、静電気力による位置エネルギーは無限遠を基準とする。

基底状態（$n=1$）にあるこの電子を無限遠まで引き離して静止させるのに必要な最小のエネルギー（イオン化エネルギー）を、$m$, $e$, $k$, $h$, $Z$ を用いて表せ。

ボーアの水素原子模型では、質量 $m$、電気量 $-e$ の電子が、静止している陽子（電気量 $+e$）を中心とする半径 $r$ の等速円運動をしていると考える。電子が受ける力は陽子からのクーロン力だけとし、クーロンの法則の比例定数を $k$ とする。また、電子の速さを $v$、プランク定数を $h$ として、電子は量子条件
$$mvr=\frac{nh}{2\pi }(n=1,2,3,\dots )$$
を満たす軌道だけを運動できるものとする。

量子数 $n=3$ の軌道を電子が 1 周する時間は、量子数 $n=1$ の軌道を電子が 1 周する時間の何倍か。