ボーアの量子条件と軌道半径

静電気力を向心力とする円運動 $\frac{m v ^{2}}{r} = \frac{k e ^{2}}{r ^{2}}$ と量子条件 $m v r = n \frac{h}{2 π}$ （ $2 π r = nλ$ ）から、軌道半径 $r_{n} = \frac{h ^{2}}{4 π ^{2} k m e ^{2}} n^{2}$ と速さ・周期を求められる

前提

物質波（ド・ブロイ波）（高校物理原子）

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算数中学高校大学大学院

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物質波（ド・ブロイ波）（高校物理原子）

説明

水素原子の電子が、原子核のまわりをどんな半径・速さで回るのかを計算できるようになります。電子を「静電気力で引かれて円運動する粒子」と見る式と、電子を「軌道上で定常波をつくる物質波」と見る条件（量子条件）を組み合わせます。その結果、軌道半径は $r_{n} = \frac{h ^{2}}{4 π ^{2} k m e ^{2}} n^{2}$ のように、とびとびの値しかとれないことがわかります。水素原子の大きさの見積もりや、電子の速さ・周期の計算に使います。

なぜそうしてよいのか

まず円運動の側です。半径 $r$ 、速さ $v$ で等速円運動する質量 $m$ の物体は、つねに円の中心向きに大きさ $\frac{v ^{2}}{r}$ の加速度をもちます。そのため中心向きに大きさ $\frac{m v ^{2}}{r}$ の力（向心力）が必要です。水素原子では、電気量 $+ e$ の原子核と電気量 $- e$ の電子が距離 $r$ で引き合う静電気力（クーロン力、大きさ $k \frac{e \cdot e}{r ^{2}}$ 、 $k$ はクーロンの法則の比例定数）がこの役割をします。よって $\frac{m v ^{2}}{r} = \frac{k e ^{2}}{r ^{2}} \dots ①$ が成り立ちます。ただしこれだけでは $r$ と $v$ の組がいくらでもあり、半径は決まりません。

そこで物質波の考えを使います。電子は波長 $λ = \frac{h}{m v}$ の波でもあります。電子の波が円軌道を 1 周してきたとき、もとの波とぴったり重なれば打ち消し合わずに安定な定常波になります。その条件は「円周が波長の整数倍」、つまり $2 π r = nλ$ （ $n = 1, 2, 3, \dots$ ）です。これに $λ = \frac{h}{m v}$ を代入すると $m v r = n \frac{h}{2 π} \dots ②$ となります。これがボーアの量子条件で、 $n$ を量子数といいます。

①と②の 2 式で未知数 $r, v$ が 2 つなので、両方が決まります。②から $v = \frac{nh}{2 π m r}$ を①を変形した $m v^{2} r = k e^{2}$ に代入すると $\frac{n ^{2} h ^{2}}{4 π ^{2} m r} = k e^{2}$ 、よって $r_{n} = \frac{h ^{2}}{4 π ^{2} k m e ^{2}} n^{2}$ です。これを②に戻すと速さ $v_{n} = \frac{2 π k e ^{2}}{nh}$ 、周期は $T_{n} = \frac{2 π r _{n}}{v _{n}} = \frac{n ^{3} h ^{3}}{4 π ^{2} k ^{2} m e ^{4}}$ と求まります。 $n$ が整数しかとれないので、半径も速さもとびとびの値になります。

手順

円運動の式を立てる：静電気力が向心力になるので $\frac{m v ^{2}}{r} = \frac{k e ^{2}}{r ^{2}}$ 、整理して $m v^{2} r = k e^{2}$
量子条件を立てる： $2 π r = nλ$ と $λ = \frac{h}{m v}$ から $m v r = n \frac{h}{2 π}$ 、よって $v = \frac{nh}{2 π m r}$
$v$ を消去して半径を求める： $r_{n} = \frac{h ^{2}}{4 π ^{2} k m e ^{2}} n^{2}$
必要なら速さ・周期を求める： $v_{n} = \frac{2 π k e ^{2}}{nh}$ 、 $T_{n} = \frac{2 π r _{n}}{v _{n}}$
数値を代入するときは、指数の計算を係数と $10$ の累乗に分けて行い、指定の有効数字に丸める

例題

水素原子で、電子（質量 $m = 9.1 \times 1 0^{- 31} kg$ 、電気量 $- e$ ）が原子核（電気量 $+ e$ ）を中心に、静電気力を向心力として等速円運動しているとする。電子の物質波が円軌道上で定常波をつくるというボーアの量子条件を用いて、量子数 $n = 1$ の軌道の半径は何 m か、有効数字 2 桁で求めよ。ただし $e = 1.6 \times 1 0^{- 19} C$ 、プランク定数 $h = 6.6 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ 、クーロンの法則の比例定数 $k = 9.0 \times 1 0^{9} N \cdot m^{2} / C^{2}$ 、円周率 $π = 3.14$ とする。

例題の解答

手順1：円運動の式は $\frac{m v ^{2}}{r} = \frac{k e ^{2}}{r ^{2}}$ より $m v^{2} r = k e^{2}$ 。

手順2：量子条件 $2 π r = n \frac{h}{m v}$ より $m v r = n \frac{h}{2 π}$ 、すなわち $v = \frac{nh}{2 π m r}$ 。

手順3：これを $m v^{2} r = k e^{2}$ に代入すると $m r \cdot \frac{n ^{2} h ^{2}}{4 π ^{2} m ^{2} r ^{2}} = k e^{2}$ 、つまり $\frac{n ^{2} h ^{2}}{4 π ^{2} m r} = k e^{2}$ 。よって $r_{n} = \frac{h ^{2}}{4 π ^{2} k m e ^{2}} n^{2}$ 。 $n = 1$ では $r_{1} = \frac{h ^{2}}{4 π ^{2} k m e ^{2}}$ 。

手順5：分子 $h^{2} = (6.6 \times 1 0^{- 34})^{2} = 43.56 \times 1 0^{- 68} = 4.356 \times 1 0^{- 67}$ 。
分母 $4 π^{2} = 4 \times 3.1 4^{2} = 39.44$ 、 $k m e^{2} = 9.0 \times 1 0^{9} \times 9.1 \times 1 0^{- 31} \times (1.6 \times 1 0^{- 19})^{2} = 9.0 \times 9.1 \times 2.56 \times 1 0^{9 - 31 - 38} = 209.7 \times 1 0^{- 60}$ 。
よって分母 $= 39.44 \times 209.7 \times 1 0^{- 60} \approx 8.27 \times 1 0^{- 57}$ 。
$r_{1} = \frac{4.356 \times 1 0 ^{- 67}}{8.27 \times 1 0 ^{- 57}} \approx 0.527 \times 1 0^{- 10} = 5.27 \times 1 0^{- 11}$ 。
有効数字 2 桁で $5.3 \times 1 0^{- 11} m$ 。

答え: $5.3 \times 1 0^{- 11}$

よくある誤り

量子条件を $2 π r = λ$ や $m v r = nh$ としてしまう誤り。正しくは円周が波長の整数倍で $2 π r = nλ$ 、これに $λ = \frac{h}{m v}$ を入れて $m v r = n \frac{h}{2 π}$ と $2 π$ で割る形になる。
半径が $n$ に比例する（ $r_{n} \propto n$ ）としてしまう誤り。正しくは $v$ を消去するときに $v^{2}$ から $n^{2}$ が出るので $r_{n} = \frac{h ^{2}}{4 π ^{2} k m e ^{2}} n^{2}$ 、 $n = 2$ の軌道の半径は $n = 1$ の $4$ 倍である。
外側の軌道ほど速さが大きいとしてしまう誤り。正しくは $v_{n} = \frac{2 π k e ^{2}}{nh}$ で $v_{n} \propto \frac{1}{n}$ 、外側ほど遅い。周期は $T_{n} = \frac{2 π r _{n}}{v _{n}} \propto n^{3}$ になる。
向心力の式を $\frac{m v ^{2}}{r} = \frac{k e ^{2}}{r}$ のように静電気力の $r^{2}$ を $r$ にしてしまう誤り。正しくはクーロン力は距離の 2 乗に反比例するので $\frac{m v ^{2}}{r} = \frac{k e ^{2}}{r ^{2}}$ 、整理すると $m v^{2} r = k e^{2}$ になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

水素原子のエネルギー準位（高校物理原子）