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原子の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル高校物理原子

ボーアの水素原子模型の考え方を、原子核のまわりを電子が 1 個だけまわっているイオン（水素様イオン。たとえば $He^{+}$ や $Li^{2 +}$ ）に当てはめる。原子核の電気量を $+ Z e$ （ $Z$ は正の整数）、電子の質量を $m$ 、電気量を $- e$ とし、原子核は静止しているものとする。電子は原子核からの静電気力だけを受けて、原子核を中心とする半径 $r$ 、速さ $v$ の等速円運動をし、量子条件
$m v r = n \frac{h}{2 π} (n = 1, 2, 3, \dots)$
を満たす。ここで $h$ はプランク定数、クーロンの法則の比例定数を $k$ とし、静電気力による位置エネルギーは無限遠を基準とする。

$n = 1$ の状態（基底状態）にある電子を、このイオンから無限遠まで引き離して静止させるのに必要な最小のエネルギー（イオン化エネルギー）を、 $Z$ , $m$ , $e$ , $k$ , $h$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

ボーアの量子条件と軌道半径（説明と入口の問題）
水素原子のエネルギー準位（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（52 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

イオン化エネルギーは、基底状態のエネルギー $E_{1}$ と、無限遠で静止した状態のエネルギー $0$ との差である。まず $E_{n}$ を求めよう。

ヒント 2

運動方程式 $m \frac{v ^{2}}{r} = k \frac{Z e ^{2}}{r ^{2}}$ と量子条件から $r$ を $n$ で表す。運動方程式から $\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{k Z e ^{2}}{2 r}$ がいえるので、 $E_{n} = - \frac{k Z e ^{2}}{2 r}$ となる。

ヒント 3

半径は $r = \frac{n ^{2} h ^{2}}{4 π ^{2} k m Z e ^{2}}$ である。これを $E_{n} = - \frac{k Z e ^{2}}{2 r}$ に代入し、 $n = 1$ とする。

答えと解説

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\frac{2 π ^{2} k ^{2} m Z ^{2} e ^{4}}{h ^{2}}

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解説を読む

運動方程式と量子条件

電子は原子核からの静電気力 $k \frac{Z e ^{2}}{r ^{2}}$ を向心力として等速円運動をするので
$m \frac{v ^{2}}{r} = k \frac{Z e ^{2}}{r ^{2}} (1)$
量子条件は
$m v r = \frac{nh}{2 π} (2)$

半径

$(1)$ より $m v^{2} r = k Z e^{2}$ 。この式を $(2)$ で辺々割ると
$v = \frac{k Z e ^{2}}{\frac{nh}{2 π}} = \frac{2 π k Z e ^{2}}{nh}$
これを $(2)$ に代入して
$r = \frac{nh}{2 π m v} = \frac{nh}{2 π m} \cdot \frac{nh}{2 π k Z e ^{2}} = \frac{n ^{2} h ^{2}}{4 π ^{2} k m Z e ^{2}}$

エネルギー

電子の力学的エネルギー $E_{n}$ は、運動エネルギーと静電気力による位置エネルギー $- k \frac{Z e ^{2}}{r}$ の和である。 $(1)$ より $\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{k Z e ^{2}}{2 r}$ なので
$E_{n} = \frac{1}{2} m v^{2} - k \frac{Z e ^{2}}{r} = \frac{k Z e ^{2}}{2 r} - \frac{k Z e ^{2}}{r} = - \frac{k Z e ^{2}}{2 r}$
$r$ の式を代入して
$E_{n} = - \frac{k Z e ^{2}}{2} \cdot \frac{4 π ^{2} k m Z e ^{2}}{n ^{2} h ^{2}} = - \frac{2 π ^{2} k ^{2} m Z ^{2} e ^{4}}{n ^{2} h ^{2}}$

イオン化エネルギー

無限遠で静止した電子のエネルギーは $0$ である。外から加えるエネルギーが最小になるのは、電子を無限遠でちょうど静止させる場合なので、イオン化エネルギーは
$0 - E_{1} = \frac{2 π ^{2} k ^{2} m Z ^{2} e ^{4}}{h ^{2}}$

別解

円運動の運動方程式: $m \frac{v ^{2}}{r} = k \frac{Z e \cdot e}{r ^{2}}$ より $m v^{2} = \frac{k Z e ^{2}}{r}$ ……①。
量子条件 $n = 1$ : $m v r = \frac{h}{2 π}$ ……②。①× $r$ を②で割って $v = \frac{k Z e ^{2}}{h / ( 2 π )} = \frac{2 π k Z e ^{2}}{h}$ 。
また②より $r = \frac{h}{2 π m v} = \frac{h ^{2}}{4 π ^{2} mk Z e ^{2}}$ 。
力学的エネルギー: $E = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{k Z e ^{2}}{r}$ 。①より $\frac{k Z e ^{2}}{r} = m v^{2}$ なので $E = \frac{1}{2} m v^{2} - m v^{2} = - \frac{1}{2} m v^{2}$ 。
$E = - \frac{1}{2} m (\frac{2 π k Z e ^{2}}{h})^{2} = - \frac{2 π ^{2} m k ^{2} Z ^{2} e ^{4}}{h ^{2}}$ 。
無限遠で静止した状態のエネルギーは0なので、イオン化エネルギーは $0 - E = \frac{2 π ^{2} m k ^{2} Z ^{2} e ^{4}}{h ^{2}}$ 。
検算: $Z = 1$ で $\frac{2 π ^{2} m k ^{2} e ^{4}}{h ^{2}} \approx 13.6 eV$ （水素原子の値）となり、 $Z^{2}$ に比例する（ $He^{+}$ で約54 eV）という既知の結果と一致する。

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