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原子の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル高校物理原子

ボーアの水素原子模型では、質量 $m$ 、電気量 $- e$ の電子が、静止した電気量 $+ e$ の陽子のまわりを、陽子を中心とする半径 $r$ の等速円運動をしていると考える。電子が受ける力は陽子からの静電気力だけとし、クーロンの法則の比例定数を $k$ とする。また、電子の速さを $v$ として、量子条件
$m v r = n \frac{h}{2 π} (n = 1, 2, 3, \dots)$
が成り立つものとする。ここで $h$ はプランク定数である。

量子数 $n$ の定常状態で円運動する電子は、円軌道上を周期的にまわるので、軌道上の 1 点を単位時間あたりに通過する電気量を電流とみなすことができる。この電流の大きさを $m$ , $e$ , $k$ , $h$ , $n$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

ボーアの量子条件と軌道半径（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（51 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

電流は「単位時間あたりに通過する電気量」なので、電子が軌道を 1 周する周期 $T$ がわかれば $I = \frac{e}{T}$ で求まる。周期を求めるには、まず $v$ と $r$ を $n$ で表そう。

ヒント 2

静電気力が向心力になるので $m \frac{v ^{2}}{r} = k \frac{e ^{2}}{r ^{2}}$ 。これと量子条件 $m v r = \frac{nh}{2 π}$ を連立する。

ヒント 3

$m v^{2} r = k e^{2}$ を $m v r = \frac{nh}{2 π}$ で割ると $v = \frac{2 π k e ^{2}}{nh}$ 、さらに $r = \frac{n ^{2} h ^{2}}{4 π ^{2} k m e ^{2}}$ が得られる。周期は $T = \frac{2 π r}{v}$ である。

答えと解説

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\frac{4 π ^{2} k ^{2} m e ^{5}}{n ^{3} h ^{3}}

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解説を読む

運動方程式と量子条件

電子は陽子からの静電気力（大きさ $k \frac{e ^{2}}{r ^{2}}$ ）を向心力として等速円運動をするので、円運動の運動方程式は
$m \frac{v ^{2}}{r} = k \frac{e ^{2}}{r ^{2}} (1)$
また量子条件は
$m v r = \frac{nh}{2 π} (2)$

速さ $v$ と半径 $r$

$(1)$ の両辺に $r^{2}$ を掛けると
$m v^{2} r = k e^{2} (3)$
$(3)$ の左辺は $(2)$ の左辺 $m v r$ に $v$ を掛けたものなので、 $(3)$ を $(2)$ で辺々割ると
$v = \frac{k e ^{2}}{\frac{nh}{2 π}} = \frac{2 π k e ^{2}}{nh}$
これを $(2)$ に代入して
$r = \frac{nh}{2 π m v} = \frac{nh}{2 π m} \cdot \frac{nh}{2 π k e ^{2}} = \frac{n ^{2} h ^{2}}{4 π ^{2} k m e ^{2}}$

周期

電子が軌道を 1 周する時間（周期） $T$ は
$T = \frac{2 π r}{v} = 2 π \cdot \frac{n ^{2} h ^{2}}{4 π ^{2} k m e ^{2}} \cdot \frac{nh}{2 π k e ^{2}} = \frac{n ^{3} h ^{3}}{4 π ^{2} k ^{2} m e ^{4}}$

電流

電子は時間 $T$ ごとに軌道上の 1 点を 1 回通過し、そのたびに大きさ $e$ の電気量が通過する。よって電流の大きさ $I$ は
$I = \frac{e}{T} = e \cdot \frac{4 π ^{2} k ^{2} m e ^{4}}{n ^{3} h ^{3}} = \frac{4 π ^{2} k ^{2} m e ^{5}}{n ^{3} h ^{3}}$

別解

静電気力が向心力になるので、 $k \frac{e ^{2}}{r ^{2}} = m \frac{v ^{2}}{r}$ より $v^{2} = \frac{k e ^{2}}{m r}$ …①。量子条件より $r = \frac{nh}{2 π m v}$ …②。②を①に代入すると $v^{2} = \frac{k e ^{2} \cdot 2 π m v}{m nh} = \frac{2 π k e ^{2}}{nh} v$ なので、 $v = \frac{2 π k e ^{2}}{nh}$ 。これを②に代入して $r = \frac{nh}{2 π m} \cdot \frac{nh}{2 π k e ^{2}} = \frac{n ^{2} h ^{2}}{4 π ^{2} mk e ^{2}}$ 。周期は $T = \frac{2 π r}{v}$ で、1 周で電気量 $e$ が 1 点を通過するので、電流は $I = \frac{e}{T} = \frac{e v}{2 π r}$ 。 $\frac{v}{2 π r} = \frac{2 π k e ^{2}}{nh} \cdot \frac{4 π ^{2} mk e ^{2}}{2 π n ^{2} h ^{2}} = \frac{4 π ^{2} m k ^{2} e ^{4}}{n ^{3} h ^{3}}$ より $I = \frac{4 π ^{2} m k ^{2} e ^{5}}{n ^{3} h ^{3}}$ 。検算: 単位・次元は $v / (2 π r)$ が回転数（1/s）であることと整合し、 $n = 1$ で $r$ はボーア半径 $\frac{h ^{2}}{4 π ^{2} mk e ^{2}}$ に一致する。

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