原子の問題

ボーアの水素原子模型では、質量 $m$、電気量 $-e$ の電子が、静止している陽子（電気量 $+e$）を中心とする半径 $r$ の等速円運動をしていると考える。電子が受ける力は陽子からのクーロン力だけとし、クーロンの法則の比例定数を $k$ とする。また、電子の速さを $v$、プランク定数を $h$ として、電子は量子条件
$$mvr=\frac{nh}{2\pi }(n=1,2,3,\dots )$$
を満たす軌道だけを運動できるものとする。

量子数 $n=3$ の軌道を電子が 1 周する時間は、量子数 $n=1$ の軌道を電子が 1 周する時間の何倍か。

ボーアの水素原子模型では、質量 $m$、電気量 $-e$ の電子が、静止した電気量 $+e$ の陽子のまわりを、陽子を中心とする半径 $r$ の等速円運動をしていると考える。電子が受ける力は陽子からの静電気力だけとし、クーロンの法則の比例定数を $k$ とする。また、電子の速さを $v$ として、量子条件
$$mvr=n\frac{h}{2\pi }(n=1,2,3,\dots )$$
が成り立つものとする。ここで $h$ はプランク定数である。

量子数 $n$ の定常状態で円運動する電子は、円軌道上を周期的にまわるので、軌道上の 1 点を単位時間あたりに通過する電気量を電流とみなすことができる。この電流の大きさを $m$, $e$, $k$, $h$, $n$ を用いて表せ。

ボーアの水素原子模型を考える。静止した陽子（電気量 $+e$）のまわりを、質量 $m$、電気量 $-e$ の電子が、陽子を中心とする半径 $r$ の等速円運動をしている。電子にはたらく力は陽子からの静電気力だけとし、その大きさはクーロンの法則の比例定数 $k$ を用いて $\frac{k{e}^2}{r^2}$ で表される。また、電子の速さを $v$ とすると、電子の軌道は量子条件
$$mvr=n\frac{h}{2\pi }(n=1,2,3,\dots )$$
を満たすものとする。ここで $h$ はプランク定数、$n$ は正の整数（量子数）である。

量子数 $n$ の軌道の半径 $r$ を、$n$, $h$, $k$, $m$, $e$, $\pi$ を用いて表せ。

ボーアの水素原子模型を考える。質量 $m$、電気量 $-e$ の電子が、静止している電気量 $+e$ の陽子を中心として、半径 $r$、速さ $v$ の等速円運動をしている。電子にはたらく力は陽子からの静電気力だけとし、クーロンの法則の比例定数を $k$、プランク定数を $h$ とする。

ボーアの量子条件は、「電子の軌道の円周の長さ $2\pi r$ が、電子の物質波（ド・ブロイ波）の波長 $\lambda$ の整数倍になる」という条件
$$2\pi r=n\lambda (n=1,2,3,\dots )$$
で表される。量子数 $n$ の軌道をまわる電子の速さ $v$ を、$k$, $e$, $h$, $n$ を用いて表せ。

ボーアの水素原子模型の考え方を、原子核のまわりを電子が 1 個だけまわっているイオン（水素様イオン。たとえば ${\mathrm{He}}^{+}$ や ${\mathrm{Li}}^{2+}$）に当てはめる。原子核の電気量を $+Ze$（$Z$ は正の整数）、電子の質量を $m$、電気量を $-e$ とし、原子核は静止しているものとする。電子は原子核からの静電気力だけを受けて、原子核を中心とする半径 $r$、速さ $v$ の等速円運動をし、量子条件
$$mvr=n\frac{h}{2\pi }(n=1,2,3,\dots )$$
を満たす。ここで $h$ はプランク定数、クーロンの法則の比例定数を $k$ とし、静電気力による位置エネルギーは無限遠を基準とする。

$n=1$ の状態（基底状態）にある電子を、このイオンから無限遠まで引き離して静止させるのに必要な最小のエネルギー（イオン化エネルギー）を、$Z$, $m$, $e$, $k$, $h$ を用いて表せ。